Número aleph

Aleph-cero, alef-cero ou aleph-nulo, o número cardinal infinito máis pequeno

En matemáticas, particularmente na teoría de conxuntos, os números aleph (ou alef) son unha secuencia de números que se usa para representar a cardinalidade (ou tamaño) de conxuntos infinitos. Foron introducidos polo matemático Georg Cantor e reciben o nome do símbolo que utilizaba para denotalos, a letra do hebreo aleph (ℵ).

A cardinalidade máis pequena dun conxunto infinito é a dos números naturais, denotado por $\aleph _{0}$ (léase alef-cero ou aleph-nulo); a seguinte cardinalidade maior dun conxunto ben ordenado é $\aleph _{1},$ despois $\aleph _{2},$ despois $\aleph _{3},$ e así seguido. Continuando deste xeito, é posíbel definir un número cardinal infinito $\aleph _{\alpha }$ para cada número ordinal $\alpha$.

O concepto e a notación débense a Georg Cantor, que definiu a noción de cardinalidade e deuse conta de que os conxuntos infinitos poden ter cardinalidades diferentes.

Os números aleph difiren do infinito ($\infty$) que adoita atoparse en álxebra e cálculo, xa que os alefs miden o tamaño dos conxuntos, mentres que o infinito defínese habitualmente como un límite extremo da recta numérica real (aplicado a unha función ou secuencia que "diverxe ata o infinito" ou "aumenta sen límite"), ou como un punto extremo da recta numérica real estendida.

Aleph-cero

$\aleph _{0}$ (aleph-cero) é a cardinalidade do conxunto de todos os números naturais, e é un cardinal infinito. O conxunto de todos os ordinais finitos, chamado $\omega$ ou $\omega _{0}$ (onde $\omega$ é a letra grega minúscula omega), tamén ten cardinalidade $\aleph _{0}$. Un conxunto ten cardinalidade $\aleph _{0}$ se e só se é numerabelmente infinito, é dicir, hai unha bixección (correspondencia un a un) entre el e os números naturais. Exemplos destes conxuntos son

• o conxunto de números naturais,
• o conxunto de todos os números enteiros ,
• calquera subconxunto infinito de números enteiros, como o conxunto de todos os números cadrados ou o conxunto de todos os números primos,
• o conxunto de todos os números racionais ,
• o conxunto de todos os números construíbeis (no sentido xeométrico),
• o conxunto de todos os números alxébricos,
• o conxunto de todas as funcións computábeis,
• o conxunto de todas as cadeas binarias de lonxitude finita
• o conxunto de todos os subconxuntos finitos de calquera conxunto numerábel infinito dado.

Entre os conxuntos numerábeis infinitos atópanse certos ordinais infinitos,incluíndo por exemplo $\omega$, $\omega +1$, $\omega \cdot 2$, $\omega ^{2}$, $\omega ^{\omega }$, $\varepsilon _{0}$

Por exemplo, a secuencia (con tipo de orde $\omega \cdot 2$ ) de todos os enteiros impares positivos seguidos de todos os enteiros pares positivos $\{1,3,5,7,9,\cdots ;2,4,6,8,10,\cdots \}$ é unha ordenación (con cardinalidade $\aleph _{0}$ ) do conxunto de enteiros positivos.

Aleph-un

$\aleph _{1}$ é a cardinalidade do conxunto de todos os números ordinais numerábeis. Este conxunto é denotado como $\omega _{1}$ (ou ás veces Ω). O conxunto $\omega _{1}$ é en si un número ordinal maior que todos os numerábeis, polo que é un conxunto non numerábel. Polo tanto, $\aleph _{1}$ é a cardinalidade máis pequena que é maior que $\aleph _{0},$ a menor cardinalidade infinita.

A definición de $\aleph _{1}$ implica (en ZF, teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla) que ningún número cardinal está entre $\aleph _{0}$ e $\aleph _{1}.$ Se se usa o axioma da escolla, pódese probar a maiores que a clase de números cardinais está totalmente ordenada e, polo tanto, $\aleph _{1}$ é o segundo número cardinal infinito máis pequeno.

Pódese demostrar unha das propiedades máis útiles do conxunto $\omega _{1}$: Calquera subconxunto numerábel de $\omega _{1}$ ten un límite superior dentro de $\omega _{1}$ (Isto dedúcese do feito de que a unión dun número numerábel de conxuntos numerábeis é en si mesmo numerábel). Este feito é análogo á situación en $\aleph _{0}$ : Todo conxunto finito de números naturais ten un máximo que tamén é un número natural, e as unións finitas de conxuntos finitos son finitas.

Un exemplo de aplicación do ordinal $\omega _{1}$ consiste en "pechar" en relación ás operacións numerábeis; por exemplo, tentando describir explicitamente a σ-álxebra xerada por unha colección arbitraria de subconxuntos (ver por exemplo a xerarquía de Borel).

Isto é máis difícil que a maioría das descricións explícitas de "xeración" en álxebra (espazos vectoriais, grupos, etc.) porque neses casos só temos que pechar en relación a operacións finitas, como sumas, produtos, etc.

O proceso implica definir, para cada ordinal numerábel, mediante indución transfinita, un conxunto considerando todas as unións posíbeis e os complementos e tomando de todas elas sobre todas as de $\omega _{1}.$

Hipótese do continuo

Artigo principal: Hipótese do continuo.

A cardinalidade do conxunto de números reais ( cardinalidade do continuo) é 2 ^{$\aleph _{0}$}. Non se pode determinar a partir de ZFC (Teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel aumentada co axioma de escolla) onde este número encaixa exactamente na xerarquía de números aleph, mais de ZFC despréndese que a hipótese do continuo (CH) é equivalente á identidade

2^{$\aleph _{0}$} = $\aleph _{1}$.

Aleph-omega

Aleph-omega é

$\aleph _{\omega }=\sup\{\aleph _{n}|n\in \omega \}=\sup\{\aleph _{n}|n\in \{0,1,2,\cdots \}\}$

onde o menor ordinal infinito denotase como $\omega$. É dicir, o número cardinal $\aleph _{\omega }$ é o límite superior mínimo de $\sup\{\aleph _{n}|n\in \{0,1,2,\cdots \}\}$.

Notabelmente, $\aleph _{\omega }$ é o primeiro número cardinal non numerábel que se pode demostrar dentro da teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel que non é igual á cardinalidade do conxunto de todos os números reais $2^{\aleph _{0}}$: Para calquera número natural $n\geq 1$, podemos asumir coherentemente que $2^{\aleph _{0}}=\aleph _{n}$, e a maiores é posíbel supor que $2^{\aleph _{0}}$ é tan grande como calquera número cardinal que nos guste.

Aleph-α para un α en xeral

Para definir $\aleph _{\alpha }$ para un número ordinal arbitrario $\alpha$, debemos definir a operación cardinal sucesora, que asigna a calquera número cardinal $\rho$ o seguinte cardinal máis grande e ben ordenado $\rho ^{+}$ (se se cumpre o axioma de escolla, este é o cardinal máis grande (único) seguinte).

Entón podemos definir os números aleph do seguinte xeito:

$\aleph _{0}=\omega$

$\aleph _{\alpha +1}=(\aleph _{\alpha })^{+}$

$\aleph _{\lambda }=\bigcup \{\aleph _{\alpha }|\alpha <\lambda \}$ para $\lambda$ un ordinal límite infinito.

O $\alpha$-ésimo ordinal inicial infinito escríbese $\omega _{\alpha }$. A súa cardinalidade escríbese $\aleph _{\alpha }$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número beth
• Cardinalidade
• Infinito
• Número transfinito
• Número ordinal

Ligazóns externas

• "Aleph-zero". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Weisstein, Eric W. "Aleph-0". MathWorld.