Multiplicidade (matemáticas)

En matemáticas, a multiplicidade dun membro dun multiconxunto é o número de veces que aparece no multiconxunto. Por exemplo, o número de veces que un polinomio dado ten unha raíz nun punto dado é a multiplicidade desa raíz.

A noción de multiplicidade é importante para poder contar correctamente sen especificar excepcións (por exemplo, raíces duplas contadas dúas veces). Daí a expresión, "contado con multiplicidade".

Multiplicidade dun factor primo

Na factorización prima, a multiplicidade dun factor primo é a súa valoracíon $p$ -ádica. Por exemplo, a factorización prima do número enteiro $60$ é

60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5,

a multiplicidade do factor primo $2$ é $2$ , mentres que a multiplicidade de cada un dos factores primos $3$ e $5$ é $1$ . Así, $60$ ten catro factores primos se permitimos multiplicidades, pero só tres factores primos distintos.

Multiplicidade dunha raíz dun polinomio

Sexa $F$ ser un corpo e $p(x)$ un polinomio nunha variábel con coeficientes en $F$ . Un elemento $a\in F$ é unha raíz de multiplicidade $k$ de $p(x)$ se hai un polinomio $s(x)$ tal que $s(a)\neq 0$ e $p(x)=(x-a)^{k}s(x)$ . Se $k=1$ , entón a chámase raíz simple. Se $k\geq 2$ , entón $a$ chámase raíz múltiple .

Por exemplo, o polinomio $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ ten 1 e −4 como raíces, e pódese escribir como $p(x)=(x+4)(x-1)^{2}$ . Isto significa que 1 é unha raíz da multiplicidade 2, e −4 é unha raíz simple (de multiplicidade 1). A multiplicidade dunha raíz é o número de ocorrencias desta raíz na factorización completa do polinomio, mediante o teorema fundamental da álxebra.

O discriminante dun polinomio é cero se e só se o polinomio ten unha raíz múltiple.

Multiplicidade dunha solución dun sistema de ecuacións non linear

Para unha ecuación $f(x)=0$ cunha única solución variábel $x_{*}$ , a multiplicidade é $k$ se

f(x_{*})=f'(x_{*})=\cdots =f^{(k-1)}(x_{*})=0

e

f^{(k)}(x_{*})\neq 0.

Noutras palabras, o funcional diferencial $\partial _{j}$ , definido como a derivada ${\frac {1}{j!}}{\frac {d^{j}}{dx^{j}}}$ dunha función en $x_{*}$ , desaparece en $f$ para $j$ ata $k-1$ . Eses funcionais diferenciais $\partial _{0},\partial _{1},\cdots ,\partial _{k-1}$ abranguen un espazo vectorial, chamado espazo dual de Macaulay en $x_{*}$ ,^[1] e a súa dimensión é a multiplicidade de $x_{*}$ como un cero de $f$ .

Sexa $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ un sistema de $m$ ecuacións de $n$ variábeis con solución $\mathbf {x} _{*}$ onde $\mathbf {f}$ é un mapeo de $R^{n}$ a $R^{m}$ ou dende $C^{n}$ a $C^{m}$ . Tamén hai un espazo dual de Macaulay de funcionais diferenciais en $\mathbf {x} _{*}$ no que cada funcional desaparece en $\mathbf {f}$ . A dimensión deste espazo dual de Macaulay é a multiplicidade da solución $\mathbf {x} _{*}$ á ecuación $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ . O espazo dual de Macaulay forma a estrutura de multiplicidade do sistema na solución.^[2]

Por exemplo, a solución $\mathbf {x} _{*}=(0,0)$ do sistema de ecuacións en forma de $\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {0}$ con

\mathbf {f} (\mathbf {x} )=\left[{\begin{array}{c}\sin(x_{1})-x_{2}+x_{1}^{2}\\x_{1}-\sin(x_{2})+x_{2}^{2}\end{array}}\right]

é de multiplicidade 3 porque o espazo dual de Macaulay

\operatorname {span} \{\partial _{00},\partial _{10}+\partial _{01},-\partial _{10}+\partial _{20}+\partial _{11}+\partial _{02}\}

é de dimensión 3, onde $\partial _{ij}$ denota o funcional diferencial ${\frac {1}{i!j!}}{\frac {\partial ^{i+j}}{\partial x_{1}^{i}\,\partial x_{2}^{j}}}$ aplicado nunha función no punto $\mathbf {x} _{*}=(0,0)$ .

Multiplicidade de intersección

En xeometría alxébrica, a intersección de dúas subvariedades dunha variedade alxébrica é unha unión finita de variedades irredutíbeis. A cada compoñente de tal intersección está unida unha multiplicidade de intersección. Esta noción é local no sentido de que se pode definir observando o que ocorre nunha veciñanza de calquera punto xenérico deste compoñente. Dedúcese que sen perda de xeneralidade, podemos considerar, para definir a multiplicidade de intersección, a intersección de dúas variedades afíns (subvariedades dun espazo afín).

Na análise complexa

Sexa z ₀ a raíz dunha función holomorfa f e sexa n o menor número enteiro positivo tal que a derivada n-ésima de f avaliada en z₀ difire de cero. Entón a serie de potencias de f sobre z ₀ comeza co n-ésimo termo, e dise que f ten unha raíz de multiplicidade (ou "orde") n. Se n = 1, a raíz chámase raíz simple.

Tamén podemos definir a multiplicidade dos ceros e polos dunha función meromorfa. Se temos unha función meromorfa ${\textstyle f={\frac {g}{h}},}$ tomamos as expansións de Taylor de g e h sobre un punto z₀, e atopamos o primeiro termo distinto de cero en cada un (denotamos a orde dos termos como m e n respectivamente) entón se m = n, temos que o punto ten un valor distinto de cero. Se $m>n,$ entón o punto é un cero de multiplicidade $m-n.$ Se $m<n$ , entón o punto ten un polo de multiplicidade $n-m.$

Notas

↑ D.J. Bates, A.J. Sommese, J.D. Hauenstein and C.W. Wampler (2013). Numerically Solving Polynomial Systems with Bertini. SIAM. pp. 186–187.
↑ B.H. Dayton, T.-Y. Li and Z. Zeng (2011). "Multiple zeros of nonlinear systems". Mathematics of Computation 80 (276): 2143–2168. arXiv:2103.05738. doi:10.1090/s0025-5718-2011-02462-2.

Bibliografía

Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.

Outros artigos

[bshw-1] D.J. Bates, A.J. Sommese, J.D. Hauenstein and C.W. Wampler (2013). Numerically Solving Polynomial Systems with Bertini. SIAM. pp. 186–187.

[blz-2] B.H. Dayton, T.-Y. Li and Z. Zeng (2011). "Multiple zeros of nonlinear systems". Mathematics of Computation 80 (276): 2143–2168. arXiv:2103.05738. doi:10.1090/s0025-5718-2011-02462-2.

[1]

[2]