Medida de Lebesgue

Na teoría da medida, unha rama das matemáticas, a medida de Lebesgue, chamada así polo matemático francés Henri Lebesgue, é a forma estándar de asignar unha medida a subconxuntos de $n$ -espazos de dimensión superior. Para as dimensións baixas $n=1, 2,$ ou $3$ , coincide coa medida estándar de lonxitude, área ou volume. En xeral, tamén se lle chama volume $n$ -dimensional, $n$ -volume, hipervolume ou simplemente volume. Úsase en toda a análise real, en particular para definir a integración de Lebesgue. Os conxuntos aos que se lles pode asignar unha medida de Lebesgue chámanse Lebesgue-medíbeis; a medida do conxunto Lebesgue-medíbel $A$ denótase aquí como $\lambda (A)$ .

Henri Lebesgue describiu esta medida no ano 1901, á que seguiu un ano despois a súa descrición da integral de Lebesgue. Ambas as dúas foron publicadas como parte da súa disertación en 1902.^[1]

Definición

Para calquera intervalo $I=[a,b]$ , ou $I=(a,b)$ , no conxunto $\mathbb {R}$ de números reais, denote $\ell (I)=b-a$ a súa lonxitude. Para calquera subconxunto $E\subseteq \mathbb {R}$ , a medida exterior de Lebesgue^[2] $\lambda ^{\!*\!}(E)$ defínese como un ínfimo

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ é unha secuencia de intervalos abertos con }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.

A definición anterior pódese xeneralizar a dimensións superiores do seguinte xeito.^[3] Para calquera cuboide rectangular $C$ que é un produto cartesiano $C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}$ de intervalos abertos, denotamos $\operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})$ (un produto de números reais) como o seu volume. Para calquera subconxunto $E\subseteq \mathbb {R^{n}}$ ,

\lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ é unha secuencia de intervalos abertos con }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.

Algúns conxuntos $E$ satisfán o criterio de Carathéodory, que require que para todo $A\subseteq \mathbb {R^{n}}$ ,

\lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{c}).

Aquí $E^{c}$ denota o conxunto complemento. Os conxuntos $E$ que satisfán o criterio de Carathéodory dise que son medíbeis por Lebesgue, sendo a súa medida de Lebesgue definida como a súa medida exterior de Lebesgue: $\lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)$ .

O conxunto de todos estes $E$ forma unha σ-álxebra.

Un conxunto $E$ que non cumpre o criterio de Carathéodory non é medíble por Lebesgue. ZFC demostra que existen conxuntos non medíbeis; exemplos diso son os conxuntos de Vitali.

Intuición

A primeira parte da definición afirma que o subconxunto $E$ dos números reais redúcese á súa medida externa mediante a súa cobertura por conxuntos de intervalos abertos. Cada un destes conxuntos de intervalos $I$ cobre $E$ nun sentido, xa que a unión destes intervalos contén $E$ . A lonxitude total de calquera conxunto de intervalos de cobertura pode sobreestimar a medida de $E,$ porque $E$ é un subconxunto da unión dos intervalos, polo que os intervalos poden incluír puntos que non están en $E$ . A medida externa de Lebesgue emerxe como o límite inferior máximo (ínfimo) das lonxitudes de entre todos os conxuntos posibles. Intuitivamente, é a lonxitude total deses conxuntos de intervalos que se axustan a $E$ o máis axustados posíbel e sen se solaperen.

Iso caracteriza a medida externa de Lebesgue. Que esta medida externa se traduza á medida de Lebesgue propiamente dita depende dunha condición adicional. Esta condición compróbase tomando subconxuntos $A$ dos números reais usando $E$ como instrumento para dividir $A$ en dúas particións: a parte de $A$ que se interseca con $E$ e a parte restante de $A$ que non está en $E$ : a diferenza de conxuntos de $A$ e $E$ . Estas particións de $A$ están suxeitas á medida externa.

Se para todos os posíbeis subconxuntos deste tipo $A$ dos números reais, as particións de $A$ cortadas por $E$ teñen medidas externas cuxa suma é a medida externa de $A$ , entón a medida de Lebesgue exterior de $E$ dá a súa medida de Lebesgue.

Intuitivamente, esta condición significa que o conxunto $E$ non debe ter algunhas propiedades curiosas que causen unha discrepancia na medida doutro conxunto cando $E$ se usa como unha "máscara" para "recortar" ese conxunto, o que suxire a existencia de conxuntos para os que a medida externa de Lebesgue non dá a medida de Lebesgue. (De feito, estes conxuntos non son medíbeis segundo o criterio de Lebesgue).

Exemplos

Calquera intervalo pechado ${\textstyle [a,b]}$ de números reais é medíbel por Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é a lonxitude ${\textstyle b-a}$ . O intervalo aberto ${\textstyle (a,b)}$ ten a mesma medida, xa que a diferenza entre os dous conxuntos consiste só nos puntos extremos $a$ e $b$ , que teñen cada un medida cero.
Calquera produto cartesiano de intervalos ${\textstyle [a,b]}$ e ${\textstyle [c,d]}$ é medíbel de Lebesgue, e a súa medida de Lebesgue é ${\textstyle (b-a)(c-d)}$ , a área do rectángulo correspondente.
A maiores, todo conxunto de Borel é medíbel segundo Lebesgue. No entanto, hai conxuntos medíbeis segundo Lebesgue que non son conxuntos de Borel.^[4]^[5]
Calquera conxunto numerábel de números reais ten a medida de Lebesgue $0$ . En particular, a medida de Lebesgue do conxunto de números alxébricos é $0$ , mesmo se o conxunto é denso en $\mathbb {R}$ .
O conxunto de Cantor e o conxunto de números de Liouville son exemplos de conxuntos non numerábeis que teñen a medida de Lebesgue $0$ .
Se o axioma de determinación se cumpre, entón todos os conxuntos de reais son medíbeis de Lebesgue. No entanto, a determinación non é compatébel co axioma de escolla.
Os conxuntos de Vitali son exemplos de conxuntos que son non medíbeis en relación á medida de Lebesgue. A súa existencia baséase no axioma de escolla.
As curvas de Osgood son curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva^[6] (pódese obter cunha pequena variación da construción da curva de Peano). A curva do dragón é outro exemplo infrecuente.
Calquera recta en $\mathbb {R} ^{n}$ , para $n\geq 2$ , ten unha medida de Lebesgue cero. En xeral, todo hiperplano propio ten unha medida de Lebesgue cero no seu espazo ambiente.
O volume dunha $n$ -bóla pódese calcular en termos da función gamma de Euler.

Propiedades

A medida de Lebesgue $\mathbb {R} ^{n}$ ten as seguintes propiedades:

Se ${\textstyle A}$ é un produto cartesiano de intervalos $I_{1}\times I_{2}\times ...\times I_{n}$ , entón A é medíbel por Lebesgue e $\lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdots |I_{n}|.$
Se ${\textstyle A}$ é unha unión de conxuntos numerabelmente moitos conxuntos medíbeis de Lebesgue disxuntos por pares, entón ${\textstyle A}$ é en si mesmo medíbel de Lebesgue e ${\textstyle \lambda (A)}$ é igual á suma (ou serie infinita) das medidas dos conxuntos medíbeis implicados.
Se ${\textstyle A}$ é medíbel segundo Lebesgue, entón tamén o é o seu complemento.
${\textstyle \lambda (A)\geq 0}$ para todo conxunto medíbel segundo Lebesgue ${\textstyle A}$ .
Se ${\textstyle A}$ e ${\textstyle B}$ son medíbeis segundo Lebesgue e ${\textstyle A}$ é un subconxunto de ${\textstyle B}$ , entón ${\textstyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$ . (Unha consecuencia de 2).
As unións e as interseccións numerábeis de conxuntos medíbeis de Lebesgue son medíbeis de Lebesgue. (Non é unha consecuencia de 2 e 3, porque unha familia de conxuntos que está pechada baixo complementarios e unións numerábeis disxuntas non necesita estar pechada baixo unións numerábeis: $\{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}$ ).
Se ${\textstyle A}$ é un subconxunto aberto ou pechado de $\mathbb {R} ^{n}$ (ou mesmo un conxunto de Borel, véxase espazo métrico), entón ${\textstyle A}$ é medíbel por Lebesgue.
Se ${\textstyle A}$ é un conxunto medíbel segundo Lebesgue, entón é "aproximadamente aberto" e "aproximadamente pechado" no sentido da medida de Lebesgue.
Un conxunto medíbel segundo Lebesgue pode ser "comprimido" entre un conxunto aberto contedor e un conxunto pechado contido. Esta propiedade utilizouse como unha definición alternativa da medida de Lebesgue. Máis precisamente, $E\subset \mathbb {R}$ é medíbel segundo Lebesgue se e só se para cada $\varepsilon >0$ existe un conxunto aberto $G$ e un conxunto pechado $F$ tal que $F\subset E\subset G$ e $\lambda (G\setminus F)<\varepsilon$ .^[7]
A medida de Lebesgue é tanto localmente finita como regular interna, e polo tanto é unha Medida de Radon.
A medida de Lebesgue é estritamente positiva en conxuntos abertos non baleiros, e polo tanto o seu soporte é a totalidade de $\mathbb {R} ^{n}$ .
Se ${\textstyle A}$ é un conxunto medíbel de Lebesgue con ${\textstyle \lambda (A)=0}$ (un conxunto nulo), entón cada subconxunto de ${\textstyle A}$ tamén é un conxunto nulo. Con máis forza, cada subconxunto de A é medíbel.
Se ${\textstyle A}$ é medíbel de Lebesgue e x é un elemento de $\mathbb {R} ^{n}$ , entón a translación de ${\textstyle A}$ por ${\textstyle x}$ , definida por $A+x:=\{a+x:a\in A\}$ , tamén é medíbel de Lebesgue e ten a mesma medida que ${\textstyle A}$ .
Se ${\textstyle A}$ é medíbel por Lebesgue e $\delta >0$ , entón a dilatación de $A$ por $\delta$ definida por $\delta A=\{\delta x:x\in A\}$ tamén é medíbel por Lebesgue e ten medida $\delta ^{n}\lambda \,(A).$
De xeito máis xeral, se ${\textstyle T}$ é unha transformación linear e ${\textstyle A}$ é un subconxunto medíbel de $\mathbb {R} ^{n}$ , entón ${\textstyle T(A)}$ tamén é medíbel de Lebesgue e ten a medida $\left|\det(T)\right|\lambda (A)$ .

Todo o anterior pódese resumir sucintamente do seguinte xeito (aínda que as dúas últimas afirmacións non están trivialmente ligadas ao seguinte):

Os conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha

σ

-álxebra que contén todos os produtos de intervalos, e

\lambda

é a única medida completa invariante na translación nesa

σ

-álxebra con

\lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.

A medida de Lebesgue tamén ten a propiedade de ser $σ$ -finita.

Construción da medida de Lebesgue

A construción moderna da medida de Lebesgue é unha aplicación do teorema de extensión de Carathéodory. Procede do seguinte xeito.

Fixamos $n\in \mathbb {N}$ . Unha caixa en $\mathbb {R} ^{n}$ é un conxunto da forma $B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,$ onde $b_{i}\geq a_{i}$ , onde o símbolo do produto aquí representa un produto cartesiano. O volume desta caixa defínese como $\operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.$ Para calquera subconxunto $A$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , podemos definir a súa medida externa $\lambda ^{\!*\!}(A)$ por: $\lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ é unha colección numerábel de caixas cuxa unión cobre }}A\right\}.$ Despois definimos o conxunto $A$ como Lebesgue-medíbel se para todo subconxunto $S$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , $\lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.$ Estes conxuntos medíbeis de Lebesgue forman unha σ- álxebra, e a medida de Lebesgue defínese por $\lambda (A)=\lambda ^{\!*\!}(A)$ para calquera conxunto medíbel de Lebesgue $A$ .

A existencia de conxuntos que non son medíbeis segundo Lebesgue é unha consecuencia do axioma da escolla da teoría de conxuntos, que é independente de moitos dos sistemas convencionais de axiomas da teoría de conxuntos.

O teorema de Vitali, que se deduce do axioma, afirma que existen subconxuntos de $\mathbb {R}$ que non son medíbeis de Lebesgue. Asumindo o axioma da escolla, demostráronse conxuntos non medíbeis con moitas propiedades sorprendentes, como os do paradoxo de Banach-Tarski.

Relación con outras medidas

A medida de Borel coincide coa medida de Lebesgue nos conxuntos para os que está definida; no entanto, hai moitos máis conxuntos medíbeis de Lebesgue que conxuntos medíbeis de Borel. Mentres que a medida de Lebesgue $\mathbb {R} ^{n}$ é automaticamente unha medida de Borel localmente finita, non todas as medidas de Borel localmente finitas en $\mathbb {R} ^{n}$ son necesariamente unha medida de Lebesgue. A medida de Borel é invariante na translación, mais non é completa.

A medida de Haar pódese definir en calquera grupo localmente compacto e é unha xeneralización da medida de Lebesgue ( $\mathbb {R} ^{n}$ coa adición é un grupo localmente compacto).

A medida de Hausdorff é unha xeneralización da medida de Lebesgue que resulta útil para medir os subconxuntos de $\mathbb {R} ^{n}$ de dimensións inferiores a $n$ , como subvariedades, por exemplo, superficies ou curvas en $\mathbb {R} ^{3}$ e conxuntos fractais. A medida de Hausdorff non se debe confundir coa noción de dimensión de Hausdorff.

Pódese demostrar que non existe un análogo de dimensión infinita da medida de Lebesgue.

Notas

↑ Lebesgue, H. (1902). "Intégrale, Longueur, Aire". Annali di Matematica Pura ed Applicata 7: 231–359. doi:10.1007/BF02420592.
↑ Royden, H. L. (1988). Real Analysis (3rd ed.). New York: Macmillan. p. 56. ISBN 0-02-404151-3.
↑ "Lebesgue-Maß". 29 August 2022. Consultado o 9 March 2023 – vía Wikipedia.
↑ Asaf Karagila. "What sets are Lebesgue-measurable?". math stack exchange. Consultado o 26 September 2015.
↑ Asaf Karagila. "Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?". math stack exchange. Consultado o 26 September 2015.
↑ Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 4 (1): 107–112. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455. doi:10.2307/1986455.
↑ Carothers, N. L. (2000). Cambridge University Press, ed. Real Analysis. Cambridge. pp. 293. ISBN 9780521497565. }

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Lebesgue, H. (1902). "Intégrale, Longueur, Aire". Annali di Matematica Pura ed Applicata 7: 231–359. doi:10.1007/BF02420592.

[2] Royden, H. L. (1988). Real Analysis (3rd ed.). New York: Macmillan. p. 56. ISBN 0-02-404151-3.

[3] "Lebesgue-Maß". 29 August 2022. Consultado o 9 March 2023 – vía Wikipedia.

[4] Asaf Karagila. "What sets are Lebesgue-measurable?". math stack exchange. Consultado o 26 September 2015.

[5] Asaf Karagila. "Is there a sigma-algebra on R strictly between the Borel and Lebesgue algebras?". math stack exchange. Consultado o 26 September 2015.

[6] Osgood, William F. (January 1903). "A Jordan Curve of Positive Area". Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 4 (1): 107–112. ISSN 0002-9947. JSTOR 1986455. doi:10.2307/1986455.

[7] Carothers, N. L. (2000). Cambridge University Press, ed. Real Analysis. Cambridge. pp. 293. ISBN 9780521497565. }

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]