Matriz transposta conxugada

En matemáticas, a matriz transposta conxugada, tamén coñecida como transposición hermitiana, dun matriz complexa $\mathbf {A}$ $m\times n$ é unha matriz $n\times m$obtida por transposición de $\mathbf {A}$ e aplicando a conxugación complexa a cada entrada (sendo $a-ib$ o conxugado complexo de $a+ib$ sendo, con números reais $a$ e $b$). Hai varias notacións, como $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ ou $\mathbf {A} ^{*}$, $\mathbf {A} '$, ou (a miúdo en física) $\mathbf {A} ^{\dagger }$.

Para matrices reais, a transposición conxugada é só a transposición, $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$.

Nalgúns contextos, $\mathbf {A} ^{*}$ denota a matriz con só entradas conxugadas complexas e sen transposición.

Definición

A conxugada transposta dunha matriz $\mathbf {A}$ $m\times n$ defínese formalmente por

$\left(\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\right)_{ij}={\overline {\mathbf {A} _{ji}}}$

 

 

 

 

(Eq.1)

onde o subíndice $ij$ denota a $(i,j)$-ésima entrada (elemento da matriz), para $1\leq i\leq n$ e $1\leq j\leq m$, e a barra superior denota un conxugado complexo escalar.

Esta definición tamén se pode escribir como

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\left({\overline {\mathbf {A} }}\right)^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }}}$

onde $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ denota a transposta e ${\overline {\mathbf {A} }}$ denota a matriz con entradas complexas conxugadas.

Exemplo

Supoñamos que queremos calcular a transposición conxugada da seguinte matriz $\mathbf {A}$,

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&-2-i&5\\1+i&i&4-2i\end{bmatrix}}$

Primeiro transpoñemos a matriz:

$\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&1+i\\-2-i&i\\5&4-2i\end{bmatrix}}$

Entón conxugamos cada entrada da matriz:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\begin{bmatrix}1&1-i\\-2+i&-i\\5&4+2i\end{bmatrix}}$

Observacións básicas

Unha matriz cadrada $\mathbf {A}$ con entradas $a_{ij}$ chámase

• Hermitiana ou autoadxunta se $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$; é dicir, $a_{ij}={\overline {a_{ji}}}$.
• Matriz antihermitiana se $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ ; é dicir, $a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}$ .
• Normal se $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$.
• Unitaria se $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }=\mathbf {A} ^{-1}$, de forma equivalente $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }={\boldsymbol {I}}$, de forma equivalente $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} ={\boldsymbol {I}}$ .

Aínda se $\mathbf {A}$ non é cadrada, as dúas matrices $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A}$ e $\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ son matrices hermitianas e, de feito, semidefinidas positivas.

A matriz "adxunta" transposta conxugada $\mathbf {A} ^{\mathrm {H} }$ non debe confundirse coa matriz adxunta, $\operatorname {adj} (\mathbf {A} )$.

A transposta conxugada dunha matriz $\mathbf {A}$ con entradas reais redúcese á transposición de $\mathbf {A}$, xa que o conxugado dun número real é o propio número.

A transposta conxugada pódese motivar observando que os números complexos poden ser representados útilmente por matrices reais $2\times 2$, obedecendo á suma e á multiplicación matricial:

$a+ib\equiv {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}}.$

Para unha explicación desta notación para os complexos, comezamos representando números complexos $e^{i\theta }$ como a matriz de rotación, é dicir,

$e^{i\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}=\cos \theta {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+\sin \theta {\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Posto que $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$, lévanos ás representacións matriciais dos números unitarios como

$1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad i={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.$

Un número complexo en xeral $z=x+iy$ represéntase logo como $z={\begin{pmatrix}x&-y\\y&x\end{pmatrix}}.$ A operación complexo conxugado (que envía $a+bi$ a $a-bi$ para números reais $a,b$) está recollida como a matriz transposta.

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz adxunta.
• Matriz inversa.

Ligazóns externas

• "Adjoint matrix". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].