Saltar ao contido

Matriz simétrica

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Matriz simétrica 5x5. Os coeficientes iguais represéntanse coa mesma cor.

En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que ai,j = aj,i para todo i e j entre 1 e n, onde ai,j son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.

Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:

Toda matriz diagonal é simétrica.

Propiedades

[editar | editar a fonte]

Matrices simétricas reais

[editar | editar a fonte]

Descomposición espectral

[editar | editar a fonte]

Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.

Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica e consiste en facer a súa descomposición na forma

,

onde é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de ) e onde é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de .

Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz

admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).

Desigualdade de traza de Ky Fan

[editar | editar a fonte]

Denotamos o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e , , os valores propios de , en orde descendente:

Presentamos a función

e, para un vector columna , temos o vector fila transposto e a matriz diagonal cuxo coeficiente índice é .

Desigualdade de traza de Ky Fan


Para todas as e , temos

onde 〈⋅, ⋅〉denota o produto escalar canónico en , con igualdade se e só se se poden obter as descomposicións espectrais ordenadas e de e pola mesma matriz ortogonal, isto é, se e só se

  • Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, e son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así, e conmutan mais difire de .
  • A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano (matrices simétricas) de (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se con ortogonal, temos
onde e denotan as normas euclidianas canónicas en e . Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en dan
Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a anterior por .
  • Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya,[1] sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores e increméntase co dos vectores e obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:

Matrices simétricas positivas

[editar | editar a fonte]

Unha matriz simétrica real S de orde n chámase:

  • positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se

  • definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se

Nota: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).

  1. G. H. Hardy, J. E. Littlewood e máis G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1952.

Véxase tamén

[editar | editar a fonte]

Bibliografía

[editar | editar a fonte]
  • Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6. 

Outros artigos

[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas

[editar | editar a fonte]