Matriz simétrica
En álxebra linear e multilinear, unha matriz simétrica é unha matriz cadrada que é igual á súa propia transposición, é dicir, tal que ai,j = aj,i para todo i e j entre 1 e n, onde ai,j son os coeficientes da matriz e n é a súa orde.
Exemplos
[editar | editar a fonte]Os coeficientes dunha matriz simétrica son simétricos en relación á diagonal principal (desde a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita). A seguinte matriz é simétrica:
Toda matriz diagonal é simétrica.
Propiedades
[editar | editar a fonte]- Unha matriz que representa un operador bilinear é simétrica se e só se o operador é simétrico.
- O conxunto de matrices simétricas de orde n con coeficientes nun corpo conmutativo é un subespazo vectorial de dimensión n(n +1)/2 do espazo vectorial de matrices cadradas de orde n, e se a característica do corpo é diferente de 2, un subespazo adicional é o das matrices antisimétricas.
Matrices simétricas reais
[editar | editar a fonte]Descomposición espectral
[editar | editar a fonte]Nun espazo euclidiano, unha matriz que representa un endomorfismo nunha base ortonormal é simétrica se e só se o endomorfismo é autoadxunto. O teorema espectral de dimensións finitas deduce que calquera matriz simétrica con coeficientes reais é diagonalizábel usando unha matriz de paso ortogonal, porque os valores propios dun endomorfismo autoadxunto son reais e os seus subespazos propios son ortogonais.
Numericamente, o proceso de diagonalización aplícase a calquera matriz simétrica e consiste en facer a súa descomposición na forma
- ,
onde é unha matriz ortogonal (cuxas columnas son vectores propios de ) e onde é unha matriz diagonal cuxos coeficientes son precisamente os valores propios de .
Nota: unha matriz simétrica con coeficientes complexos pode non ser diagonalizábel. Por exemplo, a matriz
admite 0 como único valor propio; se fose diagonalizábel, sería cero. O análogo complexo das matrices simétricas reais son de feito matrices hermitianas (que son diagonalizábeis).
Desigualdade de traza de Ky Fan
[editar | editar a fonte]Denotamos o espazo vectorial de matrices reais simétricas de orde n e , , os valores propios de , en orde descendente:
Presentamos a función
e, para un vector columna , temos o vector fila transposto e a matriz diagonal cuxo coeficiente índice é .
|
- Segundo a definición anterior en termos de endomorfismos autoadxuntos, e son diagonalizábeis simultaneamente se e só se entre elas conmutan, e a matriz de paso pódese escoller entón ortogonal. A condición de igualdade na desigualdade de Ky Fan é máis forte, porque require que as matrices diagonais obtidas estean ordenadas. Así, e conmutan mais difire de .
- A desigualdade de Ky Fan é un refinamento da desigualdade de Cauchy-Schwarz no subespazo euclidiano (matrices simétricas) de (matrices cadradas), no sentido de que a segunda se pode deducir da primeira. De feito, se con ortogonal, temos
- onde e denotan as normas euclidianas canónicas en e . Polo tanto, a desigualdade de Ky Fan e a desigualdade de Cauchy-Schwarz en dan
- Deducimos a desigualdade de Cauchy-Schwarz en ao tempo que temos en conta a que se obtén substituíndo a anterior por .
- Ao aplicar a desigualdade de Ky Fan a matrices diagonais, atopamos unha desigualdade de Hardy, Littlewood e Pólya,[1] sinxela de demostrar directamente, segundo a cal o produto escalar euclidiano de dous vectores e increméntase co dos vectores e obtidos dos vectores anteriores ordenando os seus compoñentes por orde descendente:
Matrices simétricas positivas
[editar | editar a fonte]Unha matriz simétrica real S de orde n chámase:
- positiva se a forma asociada (bilinear simétrica) é positiva, é dicir, se
- definida positiva se a forma asociada é definida e positiva, é dicir, se
Nota: unha matriz cadrada real que verifica tal desigualdade non é necesariamente simétrica (ver, Matriz de rotación en 2 dimensións).
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ G. H. Hardy, J. E. Littlewood e máis G. Pólya, Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge, U.K., 1952.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Matriz simétrica |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). Matrix analysis (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54823-6.