Matriz semellante

En matemáticas, dise que dúas matrices cadradas A e B son semellantes se existe unha matriz invertíbel P tal que $A=PBP^{-1}$ .

A semellanza é unha relación de equivalencia.

Dúas matrices son semellantes se e só se representan o mesmo endomorfismo dun espazo vectorial en dúas (posíbelmente) bases diferentes.

Non se debe confundir a noción de matrices semellantes coa de matrices equivalentes. Por outra banda, se dúas matrices son semellantes, entón son equivalentes. Unha forma de determinar se dúas matrices son semellantes é reducilas, é dicir, levalas a unha forma estándar: diagonal, forma canónica de Jordan ...

Invariantes de semellanza

As aplicacións sobre o espazo de matrices cadradas cuxo resultado é idéntico para unha matriz e unha matriz semellante a ela chámanse invariantes de semellanza.

O rango, o polinomio característico (en particular o determinante, os valores propios e a traza) e o polinomio mínimo son invariantes de semellanza, pero non forman un sistema completo, é dicir, non sempre son suficientes para detectar a non semellanza de dúas matrices.

A descomposición de Frobenius proporciona un sistema completo de invariantes de semellanza. Permítenos demostrar que calquera matriz cadrada é semellante á súa transposta.

Exemplo

As seguintes matrices son semellantes :

A={\begin{pmatrix}-2&-2\\5&4\end{pmatrix}}

B={\begin{pmatrix}0&-2\\1&2\end{pmatrix}}

(a matriz compañeira do polinomio característico de

A

).

De feito, escollendo unha matriz de columna $X$ real distinta de cero. por exemplo $X={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , a continuación, facendo $Y=AX$ , $Z=AY$ , operando temos

Y={\begin{pmatrix}-6\\14\end{pmatrix}};\quad Z={\begin{pmatrix}-16\\26\end{pmatrix}}

agora con

P={\begin{pmatrix}X&Y\end{pmatrix}}

(invertíbel) =

{\begin{pmatrix}2&-6\\1&14\end{pmatrix}}

,

conseguimos $Z=-2X+2Y$ así

AP={\begin{pmatrix}Y&Z\end{pmatrix}}=PB

.

Comprobamos operando:

{\begin{pmatrix}-2&-2\\5&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&-6\\1&14\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-6&-16\\14&26\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&-6\\1&14\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&-2\\1&2\end{pmatrix}}

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 0-521-38632-2. (A semellanza é discutida en moitos lugares, a partir da páxina 44.)

Outros artigos

Ligazóns externas

Similarity