Matriz nilpotente

En álxebra linear, unha matriz nilpotente é unha matriz cadrada N tal que

$N^{k}=0\,$

para algún enteiro $k$. O $k$ máis pequeno deste tipo chámase índice de $N$, ou ás veces o grao de $N$.

De xeito máis xeral, unha transformación nilpotente é unha transformación linear $L$ dun espazo vectorial tal que $L^{k}=0$ para algún enteiro positivo $k$ (e, polo tanto, $L^{j}=0$ para todos os $j\geq k$).

Estes dous conceptos son casos especiais dun concepto máis xeral de nilpotencia que se aplica aos elementos dos aneis.

Exemplos

Exemplo 1

A matriz

$A={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

é nilpotente de índice 2, xa que $A^{2}=0$.

Exemplo 2

De forma máis xeral, calquera matriz triangular de $n$ dimensións con ceros ao longo da diagonal principal é nilpotente, con índice $\leq n$. Por exemplo, a matriz

$B={\begin{bmatrix}0&2&1&6\\0&0&1&2\\0&0&0&3\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

é nilpotente, con

$B^{2}={\begin{bmatrix}0&0&2&7\\0&0&0&3\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{3}={\begin{bmatrix}0&0&0&6\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}};\ B^{4}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}$

O índice de $B$ é polo tanto 4.

Exemplo 3

Aínda que os exemplos anteriores teñen un gran número de entradas cero, unha matriz nilpotente típica non o ten. Por exemplo,

$C={\begin{bmatrix}5&-3&2\\15&-9&6\\10&-6&4\end{bmatrix}}\qquad C^{2}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

aínda que a matriz non ten entradas cero.

Exemplo 4

Alén diso, calquera matriz da forma

${\begin{bmatrix}a_{1}&a_{1}&\cdots &a_{1}\\a_{2}&a_{2}&\cdots &a_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}&\ldots &-a_{1}-a_{2}-\ldots -a_{n-1}\end{bmatrix}}$

como

${\begin{bmatrix}5&5&5\\6&6&6\\-11&-11&-11\end{bmatrix}}$

ou

${\begin{bmatrix}1&1&1&1\\2&2&2&2\\4&4&4&4\\-7&-7&-7&-7\end{bmatrix}}$

elévase ao cadrado dando cero.

Exemplo 5

Se cadra algúns dos exemplos máis sorprendentes de matrices nilpotentes sexan as matrices cadradas $n\times n$ da forma:

${\begin{bmatrix}2&2&2&\cdots &1-n\\n+2&1&1&\cdots &-n\\1&n+2&1&\cdots &-n\\1&1&n+2&\cdots &-n\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \end{bmatrix}}$

As primeiras delas son:

${\begin{bmatrix}2&-1\\4&-2\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&-2\\5&1&-3\\1&5&-3\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&-3\\6&1&1&-4\\1&6&1&-4\\1&1&6&-4\end{bmatrix}}\qquad {\begin{bmatrix}2&2&2&2&-4\\7&1&1&1&-5\\1&7&1&1&-5\\1&1&7&1&-5\\1&1&1&7&-5\end{bmatrix}}\qquad \ldots$

Estas matrices son nilpotentes mais non hai entradas cero en ningunha das súas potencias inferiores ao índice.

Exemplo 6

Considere o espazo linear de polinomios de grao limitado. O operador derivada é un mapa linear. Sabemos que ao aplicar a derivada a un polinomio diminúe o seu grao en un, polo que ao aplicalo de forma iterativa, acabaremos por obter cero. Polo tanto, en tal espazo, a derivada é representábel por unha matriz nilpotente.

Caracterización

Para unha matriz cadrada $n\times n$, $N$, con entradas reais (ou complexas), as seguintes afirmacións son equivalentes:

• $N$ é nilpotente.
• O polinomio característico para $N$ é $\det \left(xI-N\right)=x^{n}$.
• O polinomio mínimo para $N$ é $x^{k}$ para algún número enteiro positivo $k\leq n$.
• O único eigenvalor complexo para $N$ é 0.

O último teorema é certo para matrices sobre calquera corpo de característica 0 ou característica suficientemente grande. (cf. Identidades de Newton)

Este teorema ten varias consecuencias, incluíndo:

• O índice dunha matriz nilpotente $n\times n$ sempre é menor ou igual a $n$. Por exemplo, cada matriz $2\times 2$ nilpotente elevada ao cadrado é cero.
• O determinante e a traza dunha matriz nilpotente son sempre cero. En consecuencia, unha matriz nilpotente non pode ser invertíbel.
• A única matriz diagonalizábel nilpotente é a matriz cero.

Ver tamén: Descomposición de Jordan-Chevalley.

Clasificación

Considere a matriz de desprazamento $n\times n$ (superior):

$S={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$

Esta matriz ten 1 ao longo da superdiagonal e 0s no resto da matriz. Como transformación linear, a matriz de desprazamento "despraza" as compoñentes dun vector unha posición cara á esquerda, aparecendo un cero na última posición:

$S(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(x_{2},\ldots ,x_{n},0).$

Esta matriz é nilpotente con grao $n$, e é a matriz nilpotente canónica.

Especificamente, se $N$ é calquera matriz nilpotente, entón $N$ é semellante a unha matriz diagonal en bloques da forma

${\begin{bmatrix}S_{1}&0&\ldots &0\\0&S_{2}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &S_{r}\end{bmatrix}}$

onde cada un dos bloques $S_{1},S_{2},\ldots ,S_{r}$ é unha matriz de desprazamento (posibelmente de diferentes tamaños). Esta forma é un caso especial da forma canónica de Jordan para matrices.

Por exemplo, calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de é semellante á matriz

${\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}.$

É dicir, se $N$ é calquera matriz 2×2 nilpotente distinta de cero, entón existe unha base b₁,b₂ de tal forma que Nb₁=0 e Nb₂=b₁.

Este teorema de clasificación cúmprese para matrices sobre calquera corpo. (Non é necesario que o corpo estea pechado alxebricamente.)

Bandeira de subespazos

Unha transformación nilpotente $L$ en $\mathbb {R} ^{n}$ determina naturalmente unha bandeira de subespazos

$\{0\}\subset \ker L\subset \ker L^{2}\subset \ldots \subset \ker L^{q-1}\subset \ker L^{q}=\mathbb {R} ^{n}$

e unha sinatura

$0=n_{0}<n_{1}<n_{2}<\ldots <n_{q-1}<n_{q}=n,\qquad n_{i}=\dim \ker L^{i}.$

A sinatura caracteriza $L$ ata unha transformación linear invertíbel. A maiores, satisfai as desigualdades

$n_{j+1}-n_{j}\leq n_{j}-n_{j-1},\qquad {\mbox{para todos os }}j=1,\ldots ,q-1.$

Pola contra, calquera secuencia de números naturais que satisfaga estas desigualdades é a sinatura dunha transformación nilpotente.

Propiedades adicionais

• Se $N$ é nilpotente con índice $k$, entón $I+N$ e $I-N$ son invertíbeis, onde $I$ é a matriz identidade $n\times n$. As inversas veñen dadas por

${\begin{aligned}(I+N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}\left(-N\right)^{m}=I-N+N^{2}-N^{3}+N^{4}-N^{5}+N^{6}-N^{7}+\cdots +(-N)^{k}\\(I-N)^{-1}&=\displaystyle \sum _{m=0}^{k}N^{m}=I+N+N^{2}+N^{3}+N^{4}+N^{5}+N^{6}+N^{7}+\cdots +N^{k}\\\end{aligned}}$

• Se $N$ é nilpotente, entón

$\det(I+N)=1.$

Pola contra, se $A$ é unha matriz e

$\det(I+tA)=1\!\,$

para todos os valores de $t$, entón $A$ é nilpotente. De feito, dado que $p(t)=\det(I+tA)-1$ é un polinomio de grao $n$, abonda con ter este valor para $n+1$ valores distintos de $t$.

• Toda matriz singular pódese escribir como produto de matrices nilpotentes.
• Unha matriz nilpotente é un caso especial dunha matriz converxente.

Xeneralizacións

Un operador linear $T$ é localmente nilpotente se para cada vector $v$, existe un $k\in \mathbb {N}$ tal que

$T^{k}(v)=0.\!\,$

Para os operadores nun espazo vectorial de dimensións finitas, a nilpotencia local é equivalente á nilpotencia.

Bibliografía

• Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973). A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields. Boston: Houghton Mifflin Co. ISBN 0-395-14017-X. 
• Herstein, I. N. (1975). Topics In Algebra (2nd ed.). John Wiley & Sons. 
• Nering, Evar D. (1970). Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.). New York: Wiley. LCCN 76091646. 

Outros artigos

• Matriz (matemáticas).
• Nilpotente.
• Descomposición de Jordan-Chevalley.

Ligazóns externas

• Nilpotent matrix e [http://planetmath.org/nilpotenttransformation transformación nilpotente en PlanetMath.