Matriz e determinante jacobianos

En cálculo vectorial, a matriz jacobiana,^[1]^[2]^[3] dunha función vectorial de varias variábeis é a matriz de todas as súas derivadas parciais de primeira orde. Cando esta matriz é cadrada, é dicir, cando a función toma o mesmo número de variábeis como entrada que o número de compoñentes vectoriais da súa saída, o seu determinante denomínase determinante jacobiano. Tanto a matriz como (se é aplicábel) o determinante adoitan denominarse simplemente como jacobiano.^[4] Reciben o nome do Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definición

Supoña que $f : R n \to R m$ é unha función tal que cada unha das súas derivadas parciais de primeira orde existe en $R n$ . Esta función toma un punto $x \in R n$ como entrada e produce o vector $f (x) \in R m$ como saída. Entón, a matriz jacobiana de $f$ , denotada como $J f \in R m \times n$ , defínese de tal xeito que a súa entrada $(i, j) ésima$ é ${\textstyle {\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}}$ , ou explicitamente

\mathbf {J_{f}} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\nabla ^{\mathsf {T}}f_{1}\\\vdots \\\nabla ^{\mathsf {T}}f_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}&\cdots &{\dfrac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\end{bmatrix}}

onde

\nabla ^{\mathsf {T}}f_{i}

é a transposta (vector fila) do gradiente da compoñente

i

-ésima.

A matriz jacobiana, cuxas entradas son funcións de $x$ , denótase de varias maneiras; outras notacións comúns inclúen $D f$ , $\nabla \mathbf {f}$ , e ${\textstyle {\frac {\partial (f_{1},\ldots ,f_{m})}{\partial (x_{1},\ldots ,x_{n})}}}$ .^[5]^[6]

Algúns autores definen o jacobiano como a transposta da forma dada anteriormente.

A matriz jacobiana representa o diferencial de $f$ en cada punto onde $f$ é diferenciábel. En detalle, se $h$ é un vector de desprazamento representado por unha matriz columna, o produto de matrices $J (x) \cdot h$ é outro vector de desprazamento, que é a mellor aproximación linear do cambio de $f$ nunha veciñanza de $x$ , se $f (x)$ é diferenciábel en $x$ .^[a] Isto significa que a función que mapea $y$ en $f (x) + J (x) \cdot (y - x)$ é a mellor aproximación linear de $f (y)$ para todos os puntos $y$ próximos a $x$ . O mapa linear $h \to J (x) \cdot h$ coñécese como a derivada ou a diferencial de $f$ en $x$ .

Cando $m = n$ , a matriz jacobiana é cadrada, polo que o seu determinante é unha función ben definida de $x$ , coñecida como o determinante jacobiano de $f$ . Contén información importante sobre o comportamento local de $f$ . En particular, a función $f$ ten unha función inversa diferenciábel nunha veciñanza dun punto $x$ se e só se o determinante jacobiano é non nulo en $x$ (véxase o teorema da función inversa para unha explicación disto e a conxectura de Jacobi para un problema relacionado de invertibilidade global). O determinante jacobiano tamén aparece ao mudar as variábeis por integrais múltiples (véxase regra de substitución para varias variábeis).

Cando $m = 1$ , é dicir, cando $f : R n \to R$ é unha función escalar, a matriz jacobiana redúcese ao vector fila $\nabla ^{\mathsf {T}}f$ ; este vector fila de todas as derivadas parciais de primeira orde de $f$ é a transposta do gradiente de $f$ , é dicir, $\mathbf {J} _{f}=\nabla ^{\mathsf {T}}f$ . Especializando aínda máis, cando $m = n = 1$ , é dicir, cando $f : R \to R$ é unha función escalar dunha única variábel, a matriz jacobiana ten unha única entrada; esta entrada é a derivada da función $f$ .

Estes conceptos reciben o nome do matemático Carl Gustav Jacob Jacobi (1804–1851).

Matriz jacobiana

O jacobiano dunha función vectorial en varias variábeis xeneraliza o gradiente dunha función escalar en varias variábeis, que á súa vez xeneraliza a derivada dunha función escalar dunha única variábel. Noutras palabras, a matriz jacobiana dunha función escalar en varias variábeis é (a transposta do) seu gradiente e o gradiente dunha función escalar dunha única variábel é a súa derivada.

En cada punto onde unha función é diferenciábel, a súa matriz jacobiana tamén pode considerarse como que describe a cantidade de "estiramento", "rotación" ou "transformación" que a función impón localmente preto dese punto. Por exemplo, se $(x', y') = f (x, y)$ se usa para transformar suavemente unha imaxe, a matriz Jacobiana $J f (x, y)$ , describe como se transforma a imaxe na veciñanza de $(x, y)$ .

Se unha función é diferenciábel nun punto, a súa diferencial dase en coordenadas pola matriz jacobiana. No entanto, unha función non precisa ser diferenciábel para que a súa matriz jacobiana estea definida, xa que só se require que as súas derivadas parciais de primeira orde existan.

Se $f$ é diferenciábel nun punto $p$ en $R n$ , entón a súa diferencial represéntase por $J f (p)$ . Neste caso, a transformación linear representada por $J f (p)$ é a mellor aproximación linear de $f$ preto do punto $p$ , no sentido de que

$\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )=\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )+o(\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \|)\quad ({\text{as }}\mathbf {x} \to \mathbf {p} ),$

onde $o (‖ x - p ‖)$ é unha cantidade que se aproxima a cero moito máis rápido que a distancia entre $x$ e $p$ a medida que $x$ se aproxima a $p$ . Esta aproximación especialízase na aproximación dunha función escalar dunha única variábel polo seu polinomio de Taylor de grao un, é dicir,

f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p).

Neste sentido, o jacobiano pode considerarse como un tipo de "derivada de primeira orde" dunha función vectorial de varias variábeis. En particular, isto significa que o gradiente dunha función escalar de varias variábeis tamén pode considerarse como a súa "derivada de primeira orde".

As funcións diferenciábeis baixo composición $f : R n \to R m$ e $g : R m \to R k$ cumpren a regra da cadea, é dicir, $\mathbf {J} _{\mathbf {g} \circ \mathbf {f} }(\mathbf {x} )=\mathbf {J} _{\mathbf {g} }(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {x} )$ para $x$ en $R n$ .

O jacobiano do gradiente dunha función escalar de varias variábeis ten un nome especial: a matriz hessiana, que nun sentido é a "segunda derivada" da función en cuestión.

Determinante jacobiano

Se $m = n$ , entón $f$ é unha función de $R n$ en si mesma e a matriz Jacobiana é unha matriz cadrada. Podemos entón formar o seu determinante, coñecido como o determinante Jacobiano ou simplemente "o jacobiano".

O determinante jacobiano nun punto dado proporciona información importante sobre o comportamento de $f$ preto dese punto. Por exemplo, a función continuamente diferenciábel $f$ é invertíbel preto dun punto $p \in R n$ se o determinante jacobiano en $p$ é non nulo. Este é o teorema da función inversa. Ademais, se o determinante jacobiano en $p$ é positivo, entón $f$ preserva a orientación preto de $p$ ; se é negativo, $f$ inverte a orientación. O valor absoluto do determinante Jacobiano en $p$ dános o factor polo que a función $f$ expande ou contrae volumes preto de $p$ ; esta é a razón pola que aparece na regra de substitución xeral.

O determinante jacobiano úsase ao facer un cambio de variábeis ao avaliar unha integral múltiple dunha función sobre unha rexión dentro do seu dominio. Para acomodar o cambio de coordenadas, a magnitude do determinante jacobiano aparece como un factor multiplicativo dentro da integral. Isto débese a que o elemento $n$ -dimensional $dV$ é en xeral un paralelepípedo no novo sistema de coordenadas, e o $n$ -volume dun paralelepípedo é o determinante dos seus vectores nos bordos.

Inversa

Segundo o teorema da función inversa, a inversa da matriz da matriz jacobiana dunha función invertíbel $f : R n \to R n$ é a matriz Jacobiana da función inversa. É dicir, a matriz Jacobiana da función inversa nun punto $p$ é

\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} )={\mathbf {J} _{\mathbf {f} }^{-1}(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} ))},

e o determinante jacobiano é

\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} ^{-1}}(\mathbf {p} ))={\frac {1}{\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(\mathbf {f} ^{-1}(\mathbf {p} )))}}.

Se o jacobiano é continuo e non singular no punto $p$ en $R n$ , entón $f$ é invertíbel cando se restrinxe a algunha veciñanza de $p$ . Noutras palabras, se o determinante Jacobiano non é cero nun punto, entón a función é localmente invertíbel preto dese punto.

A (non demostrada) conxectura de Jacobi está relacionada coa invertibilidade global no caso dunha función polinómica, é dicir, unha función definida por n polinomios en n variábeis. Afirma que, se o determinante jacobiano é unha constante non nula (ou, equivalentemente, que non ten ningún cero complexo), entón a función é invertíbel e a súa inversa é unha función polinómica.

Puntos críticos

Artigo principal: Punto crítico (matemáticas).

Se $f : R n \to R m$ é unha función diferenciábel, un punto crítico de $f$ é un punto onde o rango da matriz jacobiana non é máximo. Isto significa que o rango no punto crítico é menor que o rango nalgún punto veciño. Noutras palabras, sexa $k$ a dimensión máxima das bólas abertas contidas na imaxe de $f$ ; entón un punto é crítico se todos os menores de rango $k$ de $f$ son cero.

No caso onde $m = n = k$ , un punto é crítico se o determinante jacobiano é cero.

Exemplos

Exemplo 1

Considere unha función $f : R 2 \to R 2,$ con $(x, y) \mapsto (f 1 (x, y), f 2 (x, y)),$ dada por

\mathbf {f} \left({\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}f_{1}(x,y)\\f_{2}(x,y)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.

Entón temos

f_{1}(x,y)=x^{2}y,

f_{2}(x,y)=5x+\sin y.

A matriz jacobiana de $f$ é

\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}

e o determinante jacobiano é

\det(\mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y))=2xy\cos y-5x^{2}.

Exemplo 2: transformación de polar a cartesianas

A transformación de coordenadas polares $(r, φ)$ a coordenadas cartesianas (x, y), vén dada pola función $F : R + \times [0, 2 π) \to R 2$ con compoñentes

{\begin{aligned}x&=r\cos \varphi ;\\y&=r\sin \varphi .\end{aligned}}

\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(r,\varphi )={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial r}}&{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\\[0.5ex]{\frac {\partial y}{\partial r}}&{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{bmatrix}}

O determinante jacobiano é igual a $r$ . Isto pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

$\iint _{\mathbf {F} (A)}f(x,y)\,dx\,dy=\iint _{A}f(r\cos \varphi ,r\sin \varphi )\,r\,dr\,d\varphi .$

Exemplo 3: transformación de esféricas a cartesianas

A transformación de coordenadas esféricas $(ρ, φ, θ)$ ^[7] a coordenadas cartesianas (x, y, z), vén dada pola función $F : R + \times [0, π) \times [0, 2 π) \to R 3$ con compoñentes

{\begin{aligned}x&=\rho \sin \varphi \cos \theta ;\\y&=\rho \sin \varphi \sin \theta ;\\z&=\rho \cos \varphi .\end{aligned}}

A matriz jacobiana para esta mudanza de coordenadas é

\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(\rho ,\varphi ,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial z}{\partial \rho }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \varphi }}&{\dfrac {\partial z}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \varphi \cos \theta &\rho \cos \varphi \cos \theta &-\rho \sin \varphi \sin \theta \\\sin \varphi \sin \theta &\rho \cos \varphi \sin \theta &\rho \sin \varphi \cos \theta \\\cos \varphi &-\rho \sin \varphi &0\end{bmatrix}}.

O determinante é $ρ 2 sin φ$ .

Dado que $dV = dx dy dz$ é o volume para un elemento diferencial de volume rectangular (porque o volume dun prisma rectangular é o produto dos seus lados), podemos interpretar $dV = ρ 2 sin φ dρ dφ dθ$ como o volume do elemento diferencial de volume esférico. A diferenza do volume do elemento diferencial de volume rectangular, o volume deste elemento diferencial de volume non é unha constante e varía coas coordenadas ( $ρ$ e $φ$ ). Pode usarse para transformar integrais entre os dous sistemas de coordenadas:

\iiint _{\mathbf {F} (U)}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint _{U}f(\rho \sin \varphi \cos \theta ,\rho \sin \varphi \sin \theta ,\rho \cos \varphi )\,\rho ^{2}\sin \varphi \,d\rho \,d\varphi \,d\theta .

Exemplo 4

A matriz jacobiana da función $F : R 3 \to R 4$ con compoñentes

{\begin{aligned}y_{1}&=x_{1}\\y_{2}&=5x_{3}\\y_{3}&=4x_{2}^{2}-2x_{3}\\y_{4}&=x_{3}\sin x_{1}\end{aligned}}

é

\mathbf {J} _{\mathbf {F} }(x_{1},x_{2},x_{3})={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{1}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{2}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{3}}{\partial x_{3}}}\\[1em]{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{2}}}&{\dfrac {\partial y_{4}}{\partial x_{3}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&5\\0&8x_{2}&-2\\x_{3}\cos x_{1}&0&\sin x_{1}\end{bmatrix}}.

Este exemplo mostra que a matriz jacobiana non ten por que ser unha matriz cadrada.

Exemplo 5

O determinante jacobiano da función $F : R 3 \to R 3$ con compoñentes

{\begin{aligned}y_{1}&=5x_{2}\\y_{2}&=4x_{1}^{2}-2\sin(x_{2}x_{3})\\y_{3}&=x_{2}x_{3}\end{aligned}}

é

{\begin{vmatrix}0&5&0\\8x_{1}&-2x_{3}\cos(x_{2}x_{3})&-2x_{2}\cos(x_{2}x_{3})\\0&x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-8x_{1}{\begin{vmatrix}5&0\\x_{3}&x_{2}\end{vmatrix}}=-40x_{1}x_{2}.

A partir disto vemos que $F$ inverte a orientación preto dos puntos onde $x 1$ e $x 2$ teñen o mesmo signo; a función é localmente invertíbel en todas as partes agás preto dos puntos onde $x 1 = 0$ ou $x 2 = 0$ .

Intuitivamente, se se comeza cun obxecto pequeno arredor do punto $(1, 2, 3)$ e se aplica $F$ a ese obxecto, obterase un obxecto resultante con aproximadamente $40 \times 1 \times 2 = 80$ veces o volume do orixinal, coa orientación invertida.

Notas

↑ "Jacobian - Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries - English. Arquivado dende o orixinal o 1 decembro 2017. Consultado o 2 May 2018.
↑ "the definition of jacobian". Dictionary.com. Arquivado dende o orixinal o 1 decembro 2017. Consultado o 2 May 2018.
↑ Team, Forvo. "Jacobian pronunciation: How to pronounce Jacobian in English". forvo.com. Consultado o 2 May 2018.
↑ W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Arquivado dende o orixinal o 3 novembro 2017. Consultado o 2 May 2018.
↑ Holder, Allen; Eichholz, Joseph (2019). An Introduction to computational science. International Series in Operations Research & Management Science. Cham, Switzerland: Springer. p. 53. ISBN 978-3-030-15679-4.
↑ Lovett, Stephen (2019-12-16). Differential Geometry of Manifolds. CRC Press. p. 16. ISBN 978-0-429-60782-0.
↑ Joel Hass, Christopher Heil, e Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e. Pearson, 2018, p. 959.

↑ A diferenciabilidade en $x$ implica, pero non está implicada por, a existencia de todas as derivadas parciais de primeira orde en $x$ , e polo tanto é unha condición máis forte.

Véxase tamén

Bibliografía

Gandolfo, Giancarlo (1996). "Comparative Statics and the Correspondence Principle". Economic Dynamics (Third ed.). Berlin: Springer. pp. 305–330. ISBN 3-540-60988-1.
Protter, Murray H.; Morrey, Charles B. Jr. (1985). "Transformations and Jacobians". Intermediate Calculus (Second ed.). New York: Springer. pp. 412–420. ISBN 0-387-96058-9.

Outros artigos

Ligazóns externas

"Jacobian". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Mathworld A more technical explanation of Jacobians

[1] "Jacobian - Definition of Jacobian in English by Oxford Dictionaries". Oxford Dictionaries - English. Arquivado dende o orixinal o 1 decembro 2017. Consultado o 2 May 2018.

[2] "the definition of jacobian". Dictionary.com. Arquivado dende o orixinal o 1 decembro 2017. Consultado o 2 May 2018.

[3] Team, Forvo. "Jacobian pronunciation: How to pronounce Jacobian in English". forvo.com. Consultado o 2 May 2018.

[4] W., Weisstein, Eric. "Jacobian". mathworld.wolfram.com. Arquivado dende o orixinal o 3 novembro 2017. Consultado o 2 May 2018.

[5] Holder, Allen; Eichholz, Joseph (2019). An Introduction to computational science. International Series in Operations Research & Management Science. Cham, Switzerland: Springer. p. 53. ISBN 978-3-030-15679-4.

[6] Lovett, Stephen (2019-12-16). Differential Geometry of Manifolds. CRC Press. p. 16. ISBN 978-0-429-60782-0.

[8] Joel Hass, Christopher Heil, e Maurice Weir. Thomas' Calculus Early Transcendentals, 14e. Pearson, 2018, p. 959.

[7] A diferenciabilidade en $x$ implica, pero non está implicada por, a existencia de todas as derivadas parciais de primeira orde en $x$ , e polo tanto é unha condición máis forte.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[a]

[7]