Mapa exponencial (teoría de Lie)

Na teoría dos grupos de Lie, o mapa exponencial é un mapa da álxebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ dun grupo de Lie $G$ ao grupo, que permite recuperar a estrutura local do grupo a partir da álxebra de Lie. A existencia do mapa exponencial é unha das razóns principais polas que as álxebras de Lie son unha ferramenta útil para estudar grupos de Lie.

Definicións

Sexa $G$ un grupo de Lie e ${\mathfrak {g}}$ a súa álxebra de Lie (considerada como o espazo tanxente ao elemento identidade de $G$). O mapa exponencial é un mapa:

$\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$

que se pode definir de varias maneiras. A definición moderna típica é a seguinte:

Definición: O exponencial de $X\in {\mathfrak {g}}$ vén dado por $\exp(X)=\gamma (1)$, onde:

$\gamma \colon \mathbb {R} \to G$

é o único subgrupo uniparamétrico de $G$ cuxo vector tanxente na identidade é igual a $X$.

Dedúcese facilmente da regra da cadea que $\exp(tX)=\gamma (t)$. O mapa $\gamma$, un homomorfismo de grupos de $(\mathbb {R} ,+)$ a $G$, pode construírse como a curva integral do campo vectorial invariante á dereita ou á esquerda asociado a $X$. Que a curva integral existe para todos os parámetros reais dedúcese da translación pola dereita ou pola esquerda da solución preto de cero.

Temos unha definición máis concreta no caso dun grupo de Lie matricial. O mapa exponencial coincide coa exponencial matricial e vén dado pola expansión en serie ordinaria:

$\exp(X)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {X^{k}}{k!}}=I+X+{\frac {1}{2}}X^{2}+{\frac {1}{6}}X^{3}+\cdots$,

onde $I$ é a matriz identidade. Así, no contexto dos grupos de Lie matriciais, o mapa exponencial é a restrición da exponencial matricial á álxebra de Lie ${\mathfrak {g}}$ de $G$.

Comparación co mapa exponencial de Riemann

Se $G$ é compacto, ten unha métrica de Riemann invariante baixo translacións á esquerda e á dereita; entón, o mapa exponencial teórico de Lie para $G$ coincide co mapa exponencial da xeometría de Riemann.

Para un $G$ xeral, non existirá necesariamente unha métrica de Riemann invariante baixo ambas as translacións.

Exemplos

• A circunferencia unitaria centrada en 0 no plano complexo é un grupo de Lie (chamado grupo circular) cuxo espazo tanxente en 1 pode identificarse coa recta imaxinaria no plano complexo, $\{it:t\in \mathbb {R} \}.$ O mapa exponencial para este grupo de Lie vén dado por:

$it\mapsto \exp(it)=e^{it}=\cos(t)+i\sin(t),\,$

é dicir, a mesma fórmula que a exponencial complexa ordinaria.

• Máis xeralmente, para toros complexos $X=\mathbb {C} ^{n}/\Lambda$ para algunha retícula integral $\Lambda$ de rango $n$ (isomorfa a $\mathbb {Z} ^{n}$), o toro vén equipado cun mapa de recubrimento universal:

$\pi :\mathbb {C} ^{n}\to X$

do cociente pola retícula. Dado que $X$ é localmente isomorfo a $\mathbb {C} ^{n}$ como variedades complexas, podemos identificalo co espazo tanxente $T_{0}X$, e o mapa:

$\pi :T_{0}X\to X$

corresponde ao mapa exponencial para o grupo de Lie complexo $X$.

• Nos cuaternións $\mathbb {H}$, o conxunto de cuaternións de lonxitude unitaria forma un grupo de Lie (isomorfo ao grupo unitario especial SU(2)) cuxo espazo tanxente en 1 pode identificarse co espazo de cuaternións puramente imaxinarios, $\{it+ju+kv:t,u,v\in \mathbb {R} \}.$ O mapa exponencial para este grupo de Lie vén dado por:

$\mathbf {w} :=(it+ju+kv)\mapsto \exp(it+ju+kv)=\cos(|\mathbf {w} |)1+\sin(|\mathbf {w} |){\frac {\mathbf {w} }{|\mathbf {w} |}}.\,$

Este mapa leva a 2-esfera de raio R dentro dos cuaternións puramente imaxinarios, $\{s\in S^{3}\subset \mathbf {H} :\operatorname {Re} (s)=\cos(R)\}$, a unha 2-esfera de raio $\sin(R)$ (cf. Exponencial dun vector de Pauli). Compare isto co primeiro exemplo anterior.

• Sexa V un espazo vectorial real de dimensión finita e considérese como un grupo de Lie baixo a operación de suma vectorial. Entón $\operatorname {Lie} (V)=V$ mediante a identificación de V co seu espazo tanxente en 0, e o mapa exponencial:

$\operatorname {exp} :\operatorname {Lie} (V)=V\to V$

é o mapa identidade, é dicir, $\exp(v)=v$.

• No plano dos números complexos separados $z=x+y\jmath ,\quad \jmath ^{2}=+1,$ a recta imaxinaria $\lbrace \jmath t:t\in \mathbb {R} \rbrace$ forma a álxebra de Lie do grupo da hipérbole unitaria $\lbrace \cosh t+\jmath \ \sinh t:t\in \mathbb {R} \rbrace$, xa que o mapa exponencial vén dado por:

$\jmath t\mapsto \exp(\jmath t)=\cosh t+\jmath \ \sinh t.$

Propiedades

Propiedades elementais do exponencial

Para todo $X\in {\mathfrak {g}}$, o mapa $\gamma (t)=\exp(tX)$ é o único subgrupo uniparamétrico de $G$ cuxo vector tanxente na identidade é $X$. Disto dedúcese que:

• $\exp((t+s)X)=\exp(tX)\exp(sX)\,$
• $\exp(-X)=\exp(X)^{-1}.\,$

Máis xeralmente:

• $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad {\text{se }}[X,Y]=0$.

A identidade anterior non se cumpre en xeral; o suposto de que $X$ e $Y$ conmutan é importante.

A imaxe do mapa exponencial sempre está na compoñente conexa de $G$.

O exponencial preto da identidade

O mapa exponencial $\exp \colon {\mathfrak {g}}\to G$ é un mapa suave. O seu diferencial en cero, $\exp _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$, é o mapa identidade (coas identificacións habituais).

Dedúcese do teorema da función inversa que o mapa exponencial, polo tanto, restrínxe a un difeomorfismo desde algunha veciñanza de 0 en ${\mathfrak {g}}$ a unha veciñanza de 1 en $G$.

Non é difícil demostrar logo que se G é conexo, todo elemento g de G é un produto de exponenciais de elementos de ${\mathfrak {g}}$:

$g=\exp(X_{1})\exp(X_{2})\cdots \exp(X_{n}),\quad X_{j}\in {\mathfrak {g}}$.

Globalmente, o mapa exponencial non é necesariamente sobrexectivo. Ademais, o mapa exponencial pode non ser un difeomorfismo local en todos os puntos. Por exemplo, o mapa exponencial de ${\mathfrak {so}}$(3) en SO(3) non é un difeomorfismo local (véxase tamén lugares de corte sobre este fallo). Véxase derivada do mapa exponencial para máis información.

Sobrexectividade do exponencial

Nestes casos especiais importantes, sábese que o mapa exponencial é sempre sobrexectivo:

• G é conexo e compacto,
• G é conexo e nilpotente (por exemplo, G conexo e abeliano), ou
• $G=GL_{n}(\mathbb {C} )$.

Para grupos que non cumpren ningunha das condicións anteriores, o mapa exponencial pode ou pode non ser sobrexectivo.

A imaxe do mapa exponencial do grupo conexo mais non compacto SL₂(R) non é todo o grupo. A súa imaxe consiste en matrices C-diagonalizábeis con valores propios positivos ou de módulo 1, e en matrices non diagonalizábeis cun valor propio repetido 1, e a matriz $-I$. (Así, a imaxe exclúe matrices con valores propios reais negativos, agás $-I$).

Mapa exponencial e homomorfismos

Sexa $\phi \colon G\to H$ un homomorfismo de grupos de Lie e sexa $\phi _{*}$ a súa derivada na identidade. Entón, o seguinte diagrama conmuta:

En particular, cando se aplica á acción adxunta $G$, dado que $\operatorname {Ad} _{*}=\operatorname {ad}$, temos a identidade útil::

$\mathrm {Ad} _{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm {ad} _{X})(Y)=Y+[X,Y]+{\frac {1}{2!}}[X,[X,Y]]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Hall, Brian C. (2015). Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. Graduate Texts in Mathematics 222 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-3319134666. .
• Helgason, Sigurdur (2001). Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Graduate Studies in Mathematics 34. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2848-9. MR 1834454. .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996). Foundations of Differential Geometry 1 (New ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3. .
• "Exponential mapping". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 

Outros artigos

• Difeomorfismo
• Variedade diferencial

Ligazóns externas

• LECTURE 13: THE EXPONENTIAL MAP
• What is exponential map in differential geometry (https://math.stackexchange.com/)