Método Runge-Kutta

Os métodos Runge-Kutta son unha familia de métodos numéricos iteractivos dun único paso para resolver ecuacións diferenciais ordinarias e ecuacións diferenciais-alxébricas. É dicir, a solución numérica calculada nun tempo dado constrúese a partir da solución numérica obtida no tempo anterior.

Os métodos Runge-Kutta poden ser tanto implícitos coma explícitos, e poden ter un número arbitrario de etapas (ou aproximacións intermedias) o cal permite que acaden ordes de aproximación arbitrariamente altas mantendo distintas propiedades de estabilidade numérica.

Esta familia de métodos numéricos foi inicialmente plantexada en torno ao ano 1900 polos matemáticos xermánicos Carl Runge e Wilhelm Kutta.

Empregando un método Runge-Kutta

Para o problema de valor inicial escalar

${\frac {dx}{dt}}(t)=f(t,x(t)),\quad 0\leq t<T$

$x(0)=x_{0}$

onde $f:[0,T]\times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, a solución númerica obtida por un método Runge-Kutta de $s$ etapas ven dada por

$x_{n+1}=x_{n}+\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},$

onde $x_{n}$ é unha aproximación de $x(t_{n})$. É necesario primeiro computar as etapas

$k_{i}=h_{n}f(t_{n}+c_{i}h,x_{n}+\sum _{i=1}^{s}a_{ij}k_{j}),\quad i=1,\dots ,s,$

que, polo xeral, conforman un sistema non-lineal de $s$ ecuacións alxebricas acopladas. Os coeficientes do método soen darse en forma de taboeiro, coñecido coma taboeiro de Butcher (nomeado en honor a John C. Butcher) :

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b} ^{\top }\end{array}}.$

En función da estrutura do taboeiro de Butcher, os métodos Runge-Kutta poden ser implícitos, explícitos ou semi-implícitos coma veremos a continuación.

É inmediato estender as fórmulas e definicións previas ao caso autónomo e ao caso vectorial.

Vexase tamén

Bibliografía

• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993). Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-56670-0.