Límite inverso

En matemáticas, o límite inverso (tamén chamado límite proxectivo) é unha construción que permite "pegar xuntos" moitos obxectos relacionados, onde o proceso preciso de pegado está especificado por morfismos entre os obxectos. Así, os límites inversos pódense definir en calquera categoría a pesar de que a súa existencia depende da categoría que é considerada. Son un caso especial do concepto de límite en teoría de categorías.

Traballando na categoría dual, é dicir invertindo as frechas, o límite inverso convértese nun límite directo ou límite indutivo, e un límite convértese nun colímite.

Definición xeral

O límite inverso pode definirse de forma abstracta nunha categoría arbitraria mediante unha propiedade universal. Sexa $(X_{i},f_{ij})$ un sistema inverso de obxectos e morfismos nunha categoría C. O límite inverso deste sistema é un obxecto X en C xunto con morfismos π_i: X → X_i (chamados proxeccións) que satisfán π_i = $f_{ij}\circ \pi _{j}$ para todo i ≤ j. O par (X, π_i) debe ser universal no sentido de que, para calquera outro par deste tipo (Y, ψ_i), existe un único morfismo u: Y → X tal que o seguinte diagrama é conmutativo para todo i ≤ j

. O límite inverso adoita denotarse por

$X=\varprojlim X_{i}$

onde se entende o sistema inverso $(X_{i},f_{ij})$ e as proxeccións canónicas $\pi _{i}$.

En certas categorías, o límite inverso de determinados sistemas inversos pode non existir. Se existe, porén, é único nun sentido forte: dadas dúas solucións X e X' do límite inverso para o mesmo sistema, existe un único isomorfismo X′ → X que conmuta coas proxeccións.

Os sistemas inversos e os seus límites nunha categoría C poden describirse tamén en termos de functores. Todo conxunto parcialmente ordenado I pode considerarse como unha categoría pequena, onde os morfismos consisten en frechas i → j se e só se i ≤ j. Un sistema inverso é entón un functor contravariante I → C. Sexa $C^{I^{\mathrm {op} }}$ a categoría destes functores (cos transformacións naturais como morfismos). Un obxecto X de C pode considerarse como un sistema inverso trivial, no que todos os obxectos son iguais a X e todas as frechas son a identidade de X. Isto define un "functor trivial" de C a $C^{I^{\mathrm {op} }}$. O límite inverso, se existe, defínese como un functor adxunto á dereita deste functor trivial.