Integral de Lebesgue

A integral dunha función positiva pódese interpretar como a área embaixo dunha curva.

En matemáticas, a integral dunha función non negativa dunha única variábel pódese considerar, no caso máis sinxelo, como a área comprendida entre a gráfica desa función e o eixo $X$ .

A integral de Lebesgue, que recibe o nome do matemático francés Henri Lebesgue, é unha forma de facer este concepto rigoroso e estendelo a funcións máis xerais.

A integral de Lebesgue é máis xeral que a integral de Riemann, á que substituíu en gran medida na análise matemática desde a primeira metade do século XX. Pode acomodar funcións con descontinuidades que aparecen en moitas aplicacións que son patolóxicas na perspectiva da integral de Riemann.

A integral de Lebesgue tamén ten en xeral mellores propiedades analíticas. Por exemplo, en condicións suaves, é posíbel trocar límites na integración de Lebesgue, mentres que as condicións para facelo cunha integral de Riemann son comparativamente barrocas. A maiores, a integral de Lebesgue pódese xeneralizar dun xeito simple a espazos máis xerais, espazos de medida, como os que xorden na teoría da probabilidade.

O termo integración de Lebesgue pode significar tanto a teoría xeral da integración dunha función en relación a unha medida xeral, como introduciu Lebesgue, ou o caso específico de integración dunha función definida nun subdominio da liña real en relación á medida de Lebesgue.

Introdución

A integral dunha función real positiva $f$ entre os límites $a$ e $b$ pódese interpretar como a área baixo a gráfica de $f$ , entre $a$ e $b$ . Esta noción de área encaixa en algunhas funcións, principalmente funcións continuas por tramos, incluíndo funcións elementais, por exemplo os polinomios. No entanto, as gráficas doutras funcións, por exemplo a función de Dirichlet, non encaixan ben coa noción de área. Gráficos como o desta última, suscitan a pregunta: para que clase de funcións ten sentido a "área embaixo da curva"? A resposta a esta pregunta ten unha grande importancia teórica.

Como parte dun movemento xeral cara ao rigor nas matemáticas no século XIX, os matemáticos intentaron poñer o cálculo integral sobre unha base firme. A integral de Riemann, proposta por Bernhard Riemann (1826–1866), é un intento amplamente exitoso de proporcionar tal fundamento. A definición de Riemann comeza coa construción dunha secuencia de áreas facilmente calculábeis que converxen na integral dunha función dada. Esta definición ten éxito no sentido de que dá a resposta esperada para moitos problemas xa resolvidos, e dá resultados útiles para moitos outros problemas.

Porén, a integración de Riemann non interactúa ben coa toma de límites de secuencias de funcións, o que dificulta a análise destes procesos de límite. Isto é importante, por exemplo, no estudo das series de Fourier, as transformadas de Fourier e outros temas. A integral de Lebesgue describe mellor como e cando é posíbel tomar límites baixo o signo integral (a través do teorema de converxencia monótona e do teorema de converxencia dominada).

Mentres que a integral de Riemann considera que a área baixo unha curva está feita de rectángulos verticais, a definición de Lebesgue considera as bandas horizontais que non son necesariamente só rectángulos, polo que é máis flexíbel. Por este motivo, a definición de Lebesgue permite calcular integrais para unha clase máis ampla de funcións. Por exemplo, a función de Dirichlet, que é 1 onde o seu argumento é racional e 0 en caso contrario, ten unha integral de Lebesgue, mais non ten unha integral de Riemann. A maiores, a integral de Lebesgue desta función é cero, o que concorda coa intuición de que ao escoller un número real uniformemente ao chou do intervalo unitario, a probabilidade de escoller un número racional debería ser cero.

Interpretación intuitiva

Para a integral de Riemann, o dominio divídese en intervalos e constrúense barras para cumprir coa altura da gráfica. As áreas destas barras son sumadas, e isto aproxima a integral, en efecto sumando áreas da forma $f (x) dx$ onde $f (x)$ é a altura dun rectángulo e $dx$ é o seu ancho.

Para a integral de Lebesgue, o rango divídese en intervalos, polo que a rexión baixo o gráfico divídese en "bandas" horizontais (que poden non ser conxuntos conectados). A área dunha pequena "banda" horizontal baixo a gráfica de $f$ , de altura $dy$ , é igual á medida da anchura da banda multiplicada por $dy$ :

\mu \left(\{x\mid f(x)>y\}\right)\,dy.

A integral de Lebesgue pódese definir entón sumando as áreas destas bandas horizontais. Desde esta perspectiva, unha diferenza clave coa integral de Riemann é que as "bandas" xa non son rectangulares (produtos cartesianos de dous intervalos), senón que son produtos cartesianos dun conxunto medíbel cun intervalo.

Teoría da medida

A teoría da medida creouse inicialmente para proporcionar unha abstracción útil da noción de lonxitude dos subconxuntos da recta real e, de xeito máis xeral, da área e do volume dos subconxuntos dos espazos euclidianos. En particular, proporcionou unha resposta sistemática á pregunta de que subconxuntos de $R$ teñen unha lonxitude. Como demostraron os desenvolvementos posteriores da teoría de conxuntos (ver conxunto non medíbel), en realidade é imposíbel asignar unha lonxitude a todos os subconxuntos de $R$ dun xeito que preserve algunhas propiedades naturais de aditividade e invariancia de translación. Isto suxire que escoller unha clase adecuada de subconxuntos medíbeis é un requisito previo esencial.

A integral de Riemann usa explicitamente a noción de lonxitude. De feito, o elemento de cálculo para a integral de Riemann é o rectángulo $[a, b] \times [c, d]$ , cuxa área se calcula como $(b - a)(d - c)$ . A cantidade $b - a$ é a lonxitude da base do rectángulo e $d - c$ é a altura do rectángulo. Riemann só podía usar rectángulos planos para aproximar a área baixo a curva, porque non había unha teoría adecuada para medir conxuntos máis xerais.

No desenvolvemento da teoría na maioría dos libros de texto modernos (despois de 1950), o enfoque da medida e da integración é axiomático. Isto significa que unha medida é calquera función $μ$ definida nunha determinada clase $X$ de subconxuntos dun conxunto $E$ , que satisfaga unha determinada lista de propiedades. Pódese demostrar que estas propiedades se manteñen en moitos casos diferentes.

Funcións medíbeis

Comezamos cun espazo de medida $(E, X, μ)$ onde $E$ é un conxunto, $X$ é unha σ-álxebra de subconxuntos de $E$ , e $μ$ é unha medida (non negativa) en $E$ definida nos conxuntos de $X$ .

Por exemplo, $E$ pode ser un $n$ -espazo euclidiano $R n$ ou algún subconxunto medíbel de Lebesgue, $X$ é a σ-álxebra de todos os subconxuntos medíbeis de Lebesgue de $E$ e $μ$ é a medida de Lebesgue. Na teoría matemática da probabilidade, limitamos o noso estudo a unha medida de probabilidade $μ$ , que cumpre $μ (E) = 1$ .

A teoría de Lebesgue define integrais para unha clase de funcións chamadas funcións medíbeis. Unha función de valor real $f$ en $E$ é medíbel se a preimaxe de cada intervalo da forma $(t, \infty)$ está en $X$ :

\{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad \forall t\in \mathbb {R} .

Podemos demostrar que isto é equivalente a esixir que a preimaxe de calquera subconxunto de Borel de $R$ estea en $X$ . O conxunto de funcións medíbeis está pechado baixo operacións alxébricas, pero o máis importante é pechado baixo varios tipos de límites secuenciais punto a punto:

\sup _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \liminf _{k\in \mathbb {N} }f_{k},\quad \limsup _{k\in \mathbb {N} }f_{k}

son medíbeis se a secuencia orixinal $(f k)$ , onde $k \in N$ , consta de funcións medíbeis.

Existen varias aproximacións para definir unha integral para funcións medíbeis de valores reais $f$ definidas en $E$ , e úsanse varias notacións para denotar tal integral.

\int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f(x)\,d\mu (x)=\int _{E}f(x)\,\mu (dx).

Seguindo a identificación na teoría das distribucións de medidas con distribucións de orde $0$ , ou con medidas de Radon, tamén se pode usar unha notación de par dual e escribir a integral en relación a $μ$ na forma

\langle \mu ,f\rangle .

Definición

A teoría da integral de Lebesgue require unha teoría de conxuntos medíbeis e medidas sobre estes conxuntos, así como unha teoría de funcións medíbeis e integrais sobre estas funcións.

Mediante funcións simples

Un enfoque para construír a integral de Lebesgue é facer uso das chamadas funcións simples: combinacións lineares reais e finitas de funcións indicadoras. As funcións simples que se atopan directamente baixo dunha determinada función $f$ pódense construír particionando o rango de $f$ nun número finito de capas. A intersección da gráfica de $f$ cunha capa identifica un conxunto de intervalos no dominio de $f$ , que, en conxunto, defínese como a preimaxe do límite inferior desa capa, baixo a función simple. Deste xeito, a partición do rango de $f$ implica unha partición do seu dominio. A integral dunha función simple atópase sumando, sobre estes subconxuntos (non necesariamente ligados) do dominio, o produto da medida do subconxunto e a súa imaxe baixo a función simple (o límite inferior da capa correspondente); intuitivamente, este produto é a suma das áreas de todas as barras da mesma altura. A integral dunha función medíbel xeral non negativa defínese entón como un supremo apropiado de aproximacións mediante funcións simples, e a integral dunha función medíbel (non necesariamente positiva) é a diferenza de dúas integrais de funcións medíbeis non negativas.^[1]

Funcións indicadoras

Para asignar un valor á integral da función indicadora $1 S$ dun conxunto medíbel $S$ consistente coa medida dada $μ$ , a única opción razoábel é estabelecer:

\int 1_{S}\,d\mu =\mu (S).

Observe que o resultado pode ser igual a $+\infty$ , a non ser que $μ$ sexa unha medida finita.

Funcións simples

Unha combinación linear finita de funcións indicadoras

\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}

onde os coeficientes $a k$ son números reais e $S k$ son conxuntos medíbeis disxuntos, chámase función simple medíbel. Estendemos a integral por linearidade a funcións simples medíbeis non negativas. Cando os coeficientes $a k$ son positivos, estabelecemos

\int \left(\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}\right)\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\int 1_{S_{k}}\,d\mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k})

se esta suma é finita ou +∞.

Unha función simple pódese escribir de diferentes xeitos como unha combinación linear de funcións indicadoras, mais a integral será a mesma pola aditividade das medidas.

Precísase un pouco de coidado ao definir a integral dunha función simple con valores reais, para evitar a expresión indefinida $\infty - \infty$ : asúmese que a representación

f=\sum _{k}a_{k}1_{S_{k}}

é tal que $μ(S k) < \infty$ sempre que $a k \neq 0$ . Logo, a fórmula anterior para a integral de $f$ ten sentido, e o resultado non depende da representación particular de $f$ que satisfaga os supostos. (É importante que a representación sexa unha combinación linear finita, é dicir, que k só tome un número finito de valores).

Se $B$ é un subconxunto medíbel de $E$ e $s$ é unha función simple medíbel entón definimos

\int _{B}s\,\mathrm {d} \mu =\int 1_{B}\,s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{k}a_{k}\,\mu (S_{k}\cap B).

Funcións non negativas

Sexa $f$ unha función medíbel non negativa en $E$ , que permitimos acadar o valor $+\infty$ , noutras palabras, $f$ toma valores non negativos na recta numérica real estendida. Definimos

\int _{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int _{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.

Debemos mostrar que esta integral coincide coa anterior, definida no conxunto de funcións simples, cando $E$ é un segmento $[a, b]$ . Tamén existe a cuestión de se isto corresponde dalgún xeito a unha noción de integración de Riemann. É posíbel demostrar que a resposta a ambas as preguntas é si.

Definimos a integral de $f$ para calquera función medíbel de valor real estendido non negativo en $E$ . Para algunhas funcións, esta integral ${\textstyle \int _{E}f\,d\mu }$ é infinito.

A miúdo é útil ter unha secuencia particular de funcións simples que se aproxime ben á integral de Lebesgue (de forma análoga a unha suma de Riemann). Para unha función medíbel non negativa $f$ , sexa ${\textstyle s_{n}(x)}$ a función simple cuxo valor é ${\textstyle k/2^{n}}$ sempre que ${\textstyle k/2^{n}\leq f(x)<(k+1)/2^{n}}$ , para $k$ un enteiro non negativo menor que, por exemplo, ${\textstyle 4^{n}}$ . Entón pódese probar directamente que

\int f\,d\mu =\lim _{n\to \infty }\int s_{n}\,d\mu

e que o límite do lado dereito existe como un número real estendido. Isto liga a conexión entre o enfoque da integral de Lebesgue mediante funcións simples e a motivación da integral de Lebesgue mediante unha partición do intervalo.

Funcións con signo

Para xestionar funcións con signo, necesitamos algunhas definicións máis. Se $f$ é unha función medíbel do conxunto $E$ nos reais (incluíndo $\pm\infty$ ), entón podemos escribir

f=f^{+}-f^{-},

onde

{\begin{aligned}f^{+}(x)&={\begin{cases}f(x){\hphantom {-}}&{\text{se }}f(x)>0,\\0&{\text{noutro caso}},\end{cases}}\\f^{-}(x)&={\begin{cases}-f(x)&{\text{se }}f(x)<0,\\0&{\text{noutro caso}}.\end{cases}}\end{aligned}}

Teña en conta que $f +$ e $f -$ son funcións medíbeis non negativas. Tamén teña en conta que

|f|=f^{+}+f^{-}.

Dicimos que a integral de Lebesgue da función medíbel $f$ existe, ou está definida se polo menos unha das ${\textstyle \int f^{+}\,d\mu }$ ou ${\textstyle \int f^{-}\,d\mu }$ é finita:

\min \left(\int f^{+}\,d\mu ,\int f^{-}\,d\mu \right)<\infty .

Neste caso definimos

\int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .

Se

\int |f|\,\mathrm {d} \mu <\infty ,

dicimos que $f$ é integrábel de Lebesgue. É dicir, $f$ pertence ao $espazo L 1$ . ^[2]

Resulta que esta definición dá as propiedades desexábeis da integral.

Vía integral de Riemann impropia

Asumindo que $f$ é medíbel e non negativa, a función

f^{*}(t)\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \mu \left(\{x\in E\mid f(x)>t\}\right).

é monótonamente non crecente. A integral de Lebesgue pode entón definirse como a integral de Riemann impropia de $f *$ : ^[3]

\int _{E}f\,d\mu \ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ \int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt.

Esta integral é impropia no límite superior de $\infty$ , e posibelmente tamén en cero. Existe, coa concesión de que pode ser infinito.

Como anteriormente, a integral dunha función integrábel de Lebesgue (non necesariamente non negativa) defínese restando a integral das súas partes positiva e negativa.

Exemplo

Considere a función indicadora dos números racionais, $1 Q$ , tamén coñecida como función de Dirichlet. Esta función non é continua en ningún lugar.

$1_{\mathbf {Q} }$ non é integrábel de Riemann en [0, 1] : Non importa como se particione o conxunto [0, 1] en subintervalos, cada partición contén polo menos un número racional e polo menos un número irracional, porque os racionais e os irracionais son ambos os dous densos nos reais. Así, as sumas superiores de Darboux son todas un, e as de Darboux inferiores son todas cero.
$1_{\mathbf {Q} }$ é integrábel de Lebesgue en [0, 1] usando a medida de Lebesgue: De feito, é a función indicadora dos racionais polo que por definición

\int _{[0,1]}1_{\mathbf {Q} }\,d\mu =\mu (\mathbf {Q} \cap [0,1])=0,

porque $Q$ é numerábel.

Dominio de integración

Un problema técnico na integración de Lebesgue é que o dominio de integración defínese como un conxunto (un subconxunto dun espazo de medida), sen noción de orientación. En cálculo elemental, defínese integración en relación a unha orientación:

\int _{b}^{a}f=-\int _{a}^{b}f.

Xeneralizando isto a dimensións máis altas, obtemos a integración de formas diferenciais. Pola contra, a integración de Lebesgue proporciona unha xeneralización alternativa, integrando sobre subconxuntos en relación a unha medida; isto pódese sinalar como

\int _{A}f\,d\mu =\int _{[a,b]}f\,d\mu

para indicar integración sobre un subconxunto $A$ . A principal teoría que vincula estas ideas é a da integración homolóxica (ás veces chamada teoría da integración xeométrica), iniciada por Georges de Rham e Hassler Whitney.^[4]

Teoremas básicos da integral de Lebesgue

Dise que dúas funcións son iguais en case todas as partes ( $f\ {\stackrel {\text{a.e.}}{=}}\ g$ para abreviar) se $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ é un subconxunto dun conxunto nulo. Para o conxunto $\{x\mid f(x)\neq g(x)\}$ non é necesario unha medida.

Os seguintes teoremas están demostrados na maioría dos libros de texto sobre teoría da medida e integración de Lebesgue.^[5]

Se $f$ e $g$ son funcións medíbeis non negativas (posibelmente asumindo o valor $+\infty$ ) tal que $f = g$ en case todas as partes, entón

\int f\,d\mu =\int g\,d\mu .

É dicir, a integral respecta a relación de equivalencia da igualdade en case todas as partes.

Se $f$ e $g$ son funcións tal que $f = g$ en case todas as partes, entón $f$ é integrábel de Lebesgue se e só se $g$ é integrábel de Lebesgue, e as integrais de $f$ e $g$ son iguais se existen.
Linearidade: se $f$ e $g$ son funcións integrábeis de Lebesgue e $a$ e $b$ son números reais, entón $af + bg$ é integrábel de Lebesgue e

\int (af+bg)\,d\mu =a\int f\,d\mu +b\int g\,d\mu .

Monotonicidade : se $f \leq g$ , entón

\int f\,d\mu \leq \int g\,d\mu .

Teorema da converxencia monótona: Supoña que ${f k} k \in N$ é unha secuencia de funcións medíbeis non negativas tal que

f_{k}(x)\leq f_{k+1}(x)\quad \forall k\in \mathbb {N} ,\,\forall x\in E.

Entón, o límite punto a punto $f$ de $f k$ é medíbel de Lebesgue e

\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .

Permítese que o valor de calquera das integrais sexa infinito.

Lema de Fatou: se ${f k} k \in N$ é unha secuencia de funcións medíbeis non negativas, entón

\int \liminf _{k}f_{k}\,d\mu \leq \liminf _{k}\int f_{k}\,d\mu .

De novo, o valor de calquera das integrais pode ser infinito.

Teorema de converxencia dominada : Supoñamos que ${f k} k \in N$ é unha secuencia de funcións medíbeis complexas con límite punto por punto $f$ , e existe unha función integrábel de Lebesgue $g$ (é dicir, $g$ pertence ao $espazo L 1$ ) tal que $| f k | \leq g$ para todo $k$ . Entón $f$ é Lebesgue integrábel e

\lim _{k}\int f_{k}\,d\mu =\int f\,d\mu .

Limitacións da integral de Lebesgue

O propósito principal da integral de Lebesgue é proporcionar unha noción integral onde os límites das integrais se manteñan baixo supostos suaves. Non hai garantía de que todas as funcións sexan integrábeis de Lebesgue. Mais pode ocorrer que existan integrais impropias para funcións que non son integrábeis de Lebesgue. Un exemplo sería a función sinc:

\operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}

sobre toda a liña real. Esta función non é integrábel de Lebesgue, pois

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|dx=\infty .

Por outra banda, ${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx}$ existe como unha integral impropia e pódese calcular que é finita; é o duplo da integral de Dirichlet e por tanto igual a $\pi$ .

Notas

↑ Esta visión pódese atopar na maioría dos tratamentos de medida e integración, como por exemplo Royden (1988).
↑ Porén, $L 1$ non é "o espazo de funcións integrábeis de Lebesgue" senón o espazo de clases de equivalencia de funcións.
↑ Lieb & Loss 2001
↑ Whitney 1957
↑ Folland 1999

Véxase tamén

Bibliografía

Bartle, Robert G. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR 1312157.
Bauer, Heinz (2001). Measure and Integration Theory. De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1.
Bourbaki, Nicolas (2004). Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian. Elements of Mathematics (Berlin). Berlin: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901.
Dudley, Richard M. (1989). Real analysis and probability. The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR 982264. Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
Folland, Gerald B. (1999). Real analysis: Modern techniques and their applications. Pure and Applied Mathematics (New York) (Second ed.). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462.
Halmos, Paul R. (1950). Measure Theory. New York, N. Y.: D. Van Nostrand Company, Inc. pp. xi+304. MR 0033869. A classic, though somewhat dated presentation.
"Lebesgue integral". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars.
Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (en francés). Geneva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. p. 405. MR 0389523.
Lieb, Elliott; Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics 14 (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 978-0821827833.
Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis. Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc. pp. x+190. MR 0054173. Includes a presentation of the Daniell integral.
Marsden (1974). Elementary classical analysis. W. H. Freeman. .
Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. pp. x+310. MR 0053186. Good treatment of the theory of outer measures.
Royden, H. L. (1988). Real analysis (Third ed.). New York: Macmillan Publishing Company. pp. xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR 1013117.
Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third ed.). New York: McGraw-Hill Book Co. pp. x+342. MR 0385023. Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis. New York: McGraw-Hill Book Co. pp. xi+412. MR 0210528. Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
Saks, Stanisław (1937). Theory of the Integral. Monografie Matematyczne 7 (2nd ed.). Warsaw-Lwów: G.E. Stechert & Co. JFM 63.0183.05. Zbl 0017.30004. . English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.
Shilov, G. E.; Gurevich, B. L. (1977). Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman. Dover Books on Advanced Mathematics. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR 0466463. Emphasizes the Daniell integral.
Siegmund-Schultze, Reinhard (2008). "Henri Lebesgue". En Timothy Gowers; June Barrow-Green; Imre Leader. Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. .
Teschl, Gerald. Topics in Real and Functional Analysis. (lecture notes).
Whitney, H. (1957). Geometric Integration Theory. Princeton Mathematical Series 21. Princeton, NJ and London: Princeton University Press and Oxford University Press. pp. XV+387. MR 0087148. Zbl 0083.28204. .
Yeh, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2nd. Edition Paperback. Singapore: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. p. 760. ISBN 978-981-256-6.

Outros artigos

[1] Esta visión pódese atopar na maioría dos tratamentos de medida e integración, como por exemplo Royden (1988).

[2] Porén, $L 1$ non é "o espazo de funcións integrábeis de Lebesgue" senón o espazo de clases de equivalencia de funcións.

[3] Lieb & Loss 2001

[4] Whitney 1957

[5] Folland 1999

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]