Indeterminada (variábel)

En matemáticas, unha indeterminada ou variábel formal é unha variábel (un símbolo, xeralmente unha letra) que se usa de forma puramente formal nunha expresión matemática, pero que non representa ningún valor.

Na análise, unha expresión matemática como $3x^{2}+4x$ adoita tomarse para representar unha cantidade cuxo valor é función da súa variábel $x$, e a propia variábel tómase para representar unha cantidade descoñecida ou cambiante. Dúas expresións funcionais deste tipo considéranse iguais sempre que o seu valor sexa igual para cada valor posíbel de $x$ do dominio das funcións.

En álxebra, porén, as expresións deste tipo adoitan tomarse para representar obxectos en si mesmos, elementos dalgunha estrutura alxébrica, aquí un polinomio, elemento dun anel polinómico. Un polinomio pódese definir formalmente como a secuencia dos seus coeficientes, neste caso $[0,4,3]$ e a expresión $3x^{2}+4x$ ou escribindo todas as potencias $0x^{0}+4x^{1}+3x^{2}$ é só unha notación alternativa conveniente, con potencias da indeterminada $x$ para indicar a orde dos coeficientes. Dous destes polinomios formais considéranse iguais sempre que os seus coeficientes sexan iguais. Ás veces estes dous conceptos de igualdade discrepan.

Algúns autores reservan a palabra variábel para significar unha cantidade descoñecida ou cambiante, e distinguen estritamente os conceptos de variébel e indeterminada. Outros autores usan indistintamente a palabra variábel para ambos conceptos.

As indeterminadas ocorren en polinomios, fraccións racionais (fraccións de polinomios), series formais de potencias e, de xeito máis xeral, en expresións que se ven como obxectos independentes.

Polinomios

Un polinomio nunha indeterminada $X$ é unha expresión da forma $a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}$, onde os $a_{i}$ chámanse coeficientes do polinomio. Dous destes polinomios son iguais só se os coeficientes correspondentes son iguais Pola contra, dúas funcións polinómicas nunha variábel $x$ poden ser iguais ou non para un valor determinado de $x$.

Serie formal de potencias

Unha serie formal de potencias nunha indeterminada $X$ é unha expresión da forma $a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots$, onde non se lle asigna ningún valor ao símbolo $X$. Isto é semellante á definición dun polinomio, agás que un número infinito de coeficientes pode ser distinto de cero.

A diferenza das series de potencias que se atopan no cálculo, as cuestións de converxencia son irrelevantes (xa que non hai ningunha función en xogo). Así que están permitidas as series de potencias que diverxen para valores de $x$, como $1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. Wiley. ISBN 047102371X. 
• McCoy, Neal H. (1960). Introduction To Modern Algebra. Boston: Allyn and Bacon. LCCN 68015225. 

Outros artigos

• Ecuación diofantiana
• Variábel