Identidade (matemáticas)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Identidade.

Proba visual da identidade pitagórica. Para calquera ángulo θ, o punto (cos(θ),sen(θ)) cae no círculo unidade, que satisfai a ecuación x²+y²=1. Entón, cos²(θ)+sen²(θ)=1.

En matemáticas unha identidade é unha relación de igualdade A = B, tal que A e B conteñen algunhas variables e A e B producen o mesmo valor independentemente dos valores (habitualmente números) polos que se substitúen as variables. Noutras palabras, A = B é unha identidade se A e B definen as mesmas funcións. Isto quere dicir que unha identidade é unha igualdade entre funcións definidas de xeito diferente. Por exemplo, (a + b)²  =  a² + 2ab + b² and cos²(x) + sen²(x) = 1 son identidades. As identidades indícanse ás veces co símbolo ≡ en vez do signo igual (=).

Identidades comúns

Identidades trigonométricas

En xeral, as identidades trigonométricas inclúen certas funcións dun ou máis ángulos. Son diferentes das identidades triangulares, que son expresións que inclúen tanto ángulos como lonxitudes dos lados dun triángulo.

Estas identidades son útiles cando as expresións que involucran funcións trigonométricas teñen que ser simplificadas. Unha aplicación importante é a integración de funcións non trigonométricas: unha técnica común inclúe empregar primeiro a regra de substitución cunha función trigonométrica, e despois simplificando a integral resultante cunha identidade trigonométrica.

Un exemplo é $\operatorname {sen} ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1,$ que é verdadeira para todos os valores complexos de $\theta$ (posto que os números complexos $\mathbb {C}$ son o dominio do seno e o coseno), opostas a

$\cos \theta =1,$

que é verdadeiro para algúns valores de $\theta$, non para todos. Por exemplo, a ecuación anterior é verdadeira cando $\theta =0,$ e false se $\theta =2$.

Identidades exponenciais

As seguintes identidades son válidas para todos os expoñentes enteiros se a base non é cero:

${\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\(b^{m})^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}$

A exponenciación non é conmutativa, o que contrasta coa adición e a multiplicación. Por exemplo, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 e 2 • 3 = 3 • 2 = 6, pero 2³ = 8, onde 3² = 9.

A exponenciación tampouco é asociativa. Por exemplo, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 e (2 • 3) • 4 = 2 • (3 • 4) = 24, pero 2³ elevado a 4 é 8⁴ ou 4096, mentres que 2 elevado a 3⁴ é 2⁸¹ ou 2 417 851 639 229 258 349 412 352. Sen paréntesess que modifican a orde do cálculo, a convención é de arriba a abaixo:

$b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}.$

Identidades logarítmicas

Varias fórmulas importantes están relacionadas cos logaritmos.

Produto, cociente, potencia e raíz

O logaritmo dun produto é a suma dos logaritmos dos factores; o logaritmo dun cociente entre dous números é a diferenza dos logaritmos. O logaritmo da potencia p-ésima dun número é p veces o logaritmo do número; o logaritmo da raíz p-ésima é o logaritmo do número dividido por p. As seguintes táboas recollen estas identidades con exemplos. Cada unha pode derivarse da substitución das definicións de logaritmo x = b^log_b(x), e/ou y = b^log_b(y), na parte esquerda.

	Fórmula	Exemplo
product	$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3=5$
quotient	$\log _{b}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)$	$\log _{2}(16)=\log _{2}\!\left({\frac {64}{4}}\right)=\log _{2}(64)-\log _{2}(4)=6-2=4$
power	$\log _{b}(x^{p})=p\log _{b}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$
root	$\log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}(x)}{p}}$	$\log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5$

Cambio de base

O logaritmo log_b(x) pode calcularse a partir dos logaritmos de x e b con respecto a unha base arbitraria k mediante a fórmula:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{k}(x)}{\log _{k}(b)}}.$

As calculadoras científicas adoitan calcular os logaritmos de bases 10 e e. Os logaritmos de base b calquera poden determinarse empregando calquera deses dous logaritmos coa fórmula anterior:

$\log _{b}(x)={\frac {\log _{10}(x)}{\log _{10}(b)}}={\frac {\log _{e}(x)}{\log _{e}(b)}}.$

Dado un número x e o seu logaritmo log_b(x) nunha base descoñecida b, a base vén dada por:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.$

Identidades de funcións hiperbólicas

As funcións hiperbólicas satisfán moitas identidades, todas elas semellantes ás identidades trigonométricas. De feito, a regra de Osborn afirma que se pode converter calquera identidade trigonométrica en identidade hiperbólica expandíndoa completamente en termos de potencias integrais de senos e cosenos, cambiando seno por seno hiperbólico e coseno por coseno hiperbólico, e cambiando o signo de todos os termos que conteñan un produto de 2, 6, 10, 14, ... senos hiperbólicos.

A función gudermanniana dá unha relación directa entre as funcións circulares e as hiperbólicas que non involucra números complexos.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Encyclopedia of Equation Online encyclopedia of mathematical identities
• A Collection of Algebraic Identities Arquivado 01 de outubro de 2011 en Wayback Machine.