Ideal principal
En matemáticas, especificamente na teoría de aneis, un ideal principal é un ideal nun anel que é xerado por un só elemento de mediante a multiplicación por cada elemento de O termo tamén ten outro significado semellante en teoría da orde, onde se refire a un ideal (orde) nun poset xerado por un único elemento é dicir o conxunto de todos os elementos menores ou iguais a en
O resto deste artigo só aborda o concepto da teoría de aneis.
Definicións
[editar | editar a fonte]- un ideal principal pola esquerda é un subconxunto de dado por para algún elemento
- un ideal principal pola dereita de é un subconxunto de dado por para algún elemento
- un ideal principal bilateral é un subconxunto de dado por para algún elemento é dicir, o conxunto de todas as sumas finitas de elementos da forma
Se é un anel conmutativo con identidade, entón as tres nocións anteriores son todas iguais. Nese caso, é habitual escribir o ideal xerado por como ou
Exemplos de ideal non principal
[editar | editar a fonte]Non todos os ideais son principais. Por exemplo, considere o anel conmutativo de todos os polinomios en dúas variabeis e con coeficientes complexos. O ideal xerado por e que consta de todos os polinomios en que teñen cero como termo constante, non é principal. Para ver isto, supoña que foron un xerador de Entón e ambos os dous serían divisíbeis por que é imposíbel a non ser que sexa unha constante distinta de cero. Pero cero é a única constante en así que temos unha contradición.
No anel os números onde son pares é un ideal non principal. Este ideal forma unha retícula hexagonal regular no plano complexo. Considere e Estes números son elementos deste ideal coa mesma norma (dous), mais pola mor de seren e as únicas unidades do anel, non son asociados.
Definicións relacionadas
[editar | editar a fonte]Un anel no que cada ideal é principal chámase principal, ou un anel ideal principal. Un dominio de ideais principais (PID) é un dominio de integridade no que cada ideal é principal. Calquera PID é un dominio de factorización única; a demostración normal da factorización única nos números enteiros (o chamado teorema fundamental da aritmética) cúmprese en calquera PID.
Exemplos de ideal principal
[editar | editar a fonte]Os ideais principais en son da forma De feito, é un dominio ideal principal, e pódese mostrar como segue. Supoñamos onde e considere os homomorfismos sobrexectivos Posto que é finito, para suficientemente grande temos Así o que implica que sempre se xera de forma finita. Posto que o ideal xerado por calquera número enteiro e é exactamente por indución sobre o número de xeradores dedúcese que é principal.
No entanto, todos os aneis teñen ideais principais, calquera ideal xerado por exactamente un elemento. Por exemplo, o ideal é un ideal principal de e é un ideal principal de De feito, e son os ideais principais de calquera anel
Notas
[editar | editar a fonte]Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Gallian, Joseph A. (2017). Contemporary Abstract Algebra (9th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-305-65796-0.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]