Homomorfismo de grupos

En matemáticas, dados dous grupos, (G,∗) e (H, ·), un homomorfismo de grupos de (G,∗) a (H, ·) é unha función h: G → H tal que para todos os u e v en G cumpre

h(u*v)=h(u)\cdot h(v)

onde a operación de grupo no lado esquerdo da ecuación é a de G e a operación do lado dereito a de H.

Desta propiedade pódese deducir que h mapea o elemento neutro e_G de G co elemento neotro e_H de H,

h(e_{G})=e_{H}

e tamén mapea inversos a inversos no sentido de que

h\left(u^{-1}\right)=h(u)^{-1}.\,

Por iso pódese dicir que a h "é compatíbel coa estrutura do grupo".

Nas áreas das matemáticas onde se consideran grupos dotados de estrutura adicional, un homomorfismo ás veces significa un mapa que respecta non só a estrutura do grupo (como anteriormente) senón tamén a estrutura extra. Por exemplo, un homomorfismo de grupos topolóxicos adoita ser necesario que sexa continuo.

Tipos

Monomorfismo: homomorfismo de grupos que é unha función inxectiva (ou, un a un).
Epimorfismo: un homomorfismo de grupos que é sobrexectivo (ou, onto); é dicir, chega a todos os puntos do codominio.
Isomorfismo: homomorfismo de grupos que é bixectivo; é dicir, inxectivo e sobrexectivo. O seu inverso tamén é un homomorfismo de grupos. Neste caso, os grupos G e H chámanse isomorfos; difiren só na notación dos seus elementos (agás o elemento de identidade) e son idénticos para todos os efectos prácticos. i.e. reetiquetamos todos os elementos agás a identidade.
Endomorfismo: un homomorfismo de grupos, h: G → G; o dominio e o codominio son iguais. Tamén se chama endomorfismo de G.
Automorfismo: un endomorfismo de grupos que é bixectivo, e polo tanto un isomorfismo. O conxunto de todos os automorfismos dun grupo G, coa composición de funcións como operación, forma por si mesmo un grupo, o grupo de automorfismos de G desígnase por Aut(G). Como exemplo, o grupo de automorfismos de (Z, +) contén só dous elementos, a transformación da identidade e a multiplicación por −1; é isomorfo a (Z/2Z, +).

Imaxe e kernel

Artigos principais: Imaxe (matemáticas) e kernel (álxebra).

Definimos que o kernel de h é o conxunto de elementos en G que están mapeados coa identidade en H

\operatorname {ker} (h):=\left\{u\in G\colon h(u)=e_{H}\right\}.

e a imaxe de h é

\operatorname {im} (h):=h(G)\equiv \left\{h(u)\colon u\in G\right\}.

O kernel e a imaxe dun homomorfismo poden interpretarse como unha medida do preto que está de ser un isomorfismo. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imaxe dun homomorfismo de grupo, h(G) é isomorfa ao grupo cociente G/ker h.

O kernel de h é un subgrupo normal de G. Supoñemos que $u\in \operatorname {ker} (h)$ e mostramos que $g^{-1}\circ u\circ g\in \operatorname {ker} (h)$ para $u,g$ arbitrarios:

{\begin{aligned}h\left(g^{-1}\circ u\circ g\right)&=h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot e_{H}\cdot h(g)\\&=h(g)^{-1}\cdot h(g)=e_{H},\end{aligned}}

A imaxe de h é un subgrupo de H.

O homomorfismo, h, é un monomorfismo de grupos; é dicir, h é inxectiva (un-a-un) se e só se ker(h) = {e_G}. A inxección dá directamente que hai un elemento único no núcleo e, pola contra, un elemento único no núcleo dá a inxección:

{\begin{aligned}&&h(g_{1})&=h(g_{2})\\\Leftrightarrow &&h(g_{1})\cdot h(g_{2})^{-1}&=e_{H}\\\Leftrightarrow &&h\left(g_{1}\circ g_{2}^{-1}\right)&=e_{H},\ \operatorname {ker} (h)=\{e_{G}\}\\\Rightarrow &&g_{1}\circ g_{2}^{-1}&=e_{G}\\\Leftrightarrow &&g_{1}&=g_{2}\end{aligned}}

Exemplos

Considere o grupo cíclico Z₃ = (Z/3Z, +) = ({0, 1, 2}, +) e o grupo de enteiros (Z, +). O mapa h : Z → Z/3Z con h(u) = u mod 3 é un homomorfismo de grupos. É sobrexectivo e o seu núcleo está formado por todos os números enteiros que son divisíbeis por 3.

O conxunto
$G\equiv \left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\bigg |}a>0,b\in \mathbf {R} \right\}$

forma un grupo baixo a multiplicación matricial. Para calquera número complexo u a función f_u : G → C^* definida por

${\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}\mapsto a^{u}$
é un homomorfismo de grupos.
Considere un grupo multiplicativo de números reais positivos (R⁺, ⋅) e tamén calquera número complexo u. A continuación, a función f_u : R⁺ → C definida por
$f_{u}(a)=a^{u}$
é un homomorfismo de grupos.

O mapa exponencial produce un homomorfismo de grupos a partir do grupo de números reais R con adición no grupo de números reais distintos de cero R* con multiplicación. O kernel é {0} e a imaxe está formada polos números reais positivos.
O mapa exponencial tamén produce un homomorfismo de grupos do grupo de números complexos C con adición no grupo de números complexos distintos de cero C* con multiplicación. Este mapa é sobrexectivo e ten o kernel {2πki : k ∈ Z}, como se pode ver na fórmula de Euler. Corpos como R e C que teñen homomorfismos do seu grupo aditivo ao seu grupo multiplicativo reciben o nome de corpos exponenciais.
A función $\Phi :(\mathbb {N} ,+)\rightarrow (\mathbb {R} ,+)$ , definida por $\Phi (x)={\sqrt[{}]{2}}x$ é un homomorfismo.
Considere os dous grupos $(\mathbb {R} ^{+},*)$ e $(\mathbb {R} ,+)$ , representados respectivamente por $G$ e $H$ , onde $\mathbb {R} ^{+}$ son os números reais positivos. Entón, a función $f:G\rightarrow H$ definida pola función logaritmo é un homomorfismo.

Categoría de grupos

Se h : G → H e k : H → K son homomorfismos de grupos, entón tamén o é k ∘ h : G → K. Isto mostra que a clase de todos os grupos, xunto cos homomorfismos de grupos como morfismos, forman unha categoría (especificamente a categoría de grupos).

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Dummit, D. S.; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). Wiley. pp. 71–72. ISBN 978-0-471-43334-7.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. Zbl 0984.00001.

Outros artigos

Ligazóns externas

Rowland, Todd; Weisstein, Eric W. "Group Homomorphism". MathWorld.