Grupo multiplicativo

En matemáticas e teoría de grupos, o termo grupo multiplicativo normalmente refírese ao seguinte concepto:

o grupo baixo a multiplicación dos elementos invertíbeis dun corpo, anel ou outra estrutura para a que unha das súas operacións se denomina multiplicación. No caso dun corpo F, o grupo é (F ∖ {0}, •), onde 0 refírese ao elemento cero de F e a operación binaria • é a multiplicación do corpo.

A notación usual para a operación dos elementos do grupo é $g\cdot h$ ou mesmo sen punto $gh$ . O elemento neutro denótase como $1$ e o elemento inverso como $g^{-1}$ .

Exemplos

O grupo multiplicativo de números enteiros módulo n é o grupo baixo a multiplicación dos elementos invertíbeis de $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ . Cando n non é primo, hai elementos distintos de cero que non son invertíbeis.
O grupo multiplicativo de números reais positivos $\mathbb {R} ^{+}$ é un grupo abeliano co 1 como o seu elemento identidade. O logaritmo é un isomorfismo de grupo deste grupo no grupo aditivo de números reais, $\mathbb {R}$ .
O grupo multiplicativo dun corpo $F$ é o conxunto de todos os elementos distintos de cero: $F^{\times }=F-\{0\}$ , baixo a operación de multiplicación. Se $F$ é finito de orde q (por exemplo q = p un primo, e $F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ ), entón o grupo multiplicativo é cíclico: $F^{\times }\cong C_{q-1}$ , isomorfo ao grupo cíclico de orde do corpo menos un.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0

Outros artigos

Ligazóns externas

Multiplicative Group (MathWorld