Grupo linear xeral

Grupo linear xeral
Subclase de grupo de Lie grupo clásico grupo alxébrico  Composto por grupo linear especial (pt)  Estudado por teoría de grupos teoría de Lie
Fórmula $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {K} )=\{A\in \mathbb {K} ^{n\times n}|\det(A)\neq 0\}$
Contén partes da clase matriz invertíbel
Características  Contén partes da clase matriz invertíbel
Códigos e identificadores Freebase /m/0sy6r MathWorld GeneralLinearGroup OpenAlex C172331165
Wikidata

En matemáticas, o grupo linear xeral (ou grupo lineal xeral) de grao $n$ é o conxunto de matrices cadradas invertibles $n\times n$, xunto coa operación de produto de matrices. Isto forma un grupo, porque o produto de dúas matrices invertibles é outra vez invertible, e a inversa dunha matriz invertible é invertible, coa matriz identidade como o elemento de identidade do grupo. O grupo é chamado así porque as columnas (e tamén as filas) dunha matriz invertible son linearmente independentes, por iso os vectores/puntos que definen están en posición xeral, e as matrices no grupo lineal xeral levan puntos en posición linear xeral a puntos en posición linear xeral.

Para ser máis preciso, é necesario especificar que clase de obxectos poden aparecer nas entradas da matriz. Por exemplo, o grupo lineal xeral sobre (o conxunto de números reais) é o grupo de matrices invertibles de números reais, e é denotado por $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ ou $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$

Máis xeralmente, o grupo lineal xeral de grao $n$ sobre calquera corpo (como os números complexos), ou un anel (como o anel dos enteiros), é o conxunto de matrices invertibles $n\times n$ con entradas desde $F$ (ou $\mathbb {R}$), outra vez coa multiplicación de matrices como operación do grupo. Unha notación típica é $\mathrm {GL} (n,F)$ ou $\mathrm {GL} _{n}(F)$ ou sinxelamente $\operatorname {GL} (n)$ cando se sobreentende o corpo.

Máis xeralmente aínda, o grupo linear xeral $\operatorname {GL} (V)$ dun espazo vectorial $V$ é o seu grupo de automorfismos, non necesariamente escritos como matrices.

O grupo linear especial, denotado como $\operatorname {SL} (n,F)$ ou $\operatorname {SL} _{n}(F)$ é o subgrupo de $\operatorname {GL} (n,F)$ formado polas matrices con determinante igual a 1.

O grupo $\operatorname {GL} (n,F)$ e os seus subgrupos adoitan chamarse grupos lineares ou grupos matriciais (o grupo de automorfismos $\operatorname {GL} (V)$ é un grupo linear, pero non un grupo matricial). Estes grupos son importantes na teoría de representacións de grupos, e tamén aparecen no estudo das simetrías espaciais e das simetrías dos espazos vectoriais en xeral, así como no estudo dos polinomios. O grupo modular $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ pode realizarse como un cociente do grupo linear especial $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$.

Se $n\geq 2$, entón o grupo $\operatorname {GL} (n,F)$ non é abeliano.

Grupo lineal xeral dun espazo vectorial

Se $V$ é un espazo vectorial sobre o corpo $F$, o grupo lineal xeral de $V$, escrito $\operatorname {GL} (V)$ ou $\operatorname {Aut} (V)$, é o grupo de todos os automorfismos de $V$, é dicir, o conxunto de todas as transformacións lineais bixectivas $V\to V$, xunto coa composición de aplicacións como operación de grupo.

Se $V$ ten dimensión finita $n$, entón $\operatorname {GL} (V)$ e $\operatorname {GL} (n,F)$ son isomorfos. O isomorfismo non é canónico; depende da escolla dunha base en $V$. Dada unha base $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ de $V$ e un automorfismo $T$ en $\operatorname {GL} (V)$, temos para cada vector base e_i que

$T(e_{i})=\sum _{j=1}^{n}a_{ji}e_{j}$

para certas constantes $a_{ij}$ en $F$; a matriz correspondente a $T$ é entón simplemente a matriz cos elementos dados polos $a_{ji}$.

De xeito semellante, para un anel conmutativo $R$ o grupo $\operatorname {GL} (n,R)$ pode interpretarse como o grupo de automorfismos dun $R$-módulo libre $M$ de rango $n$. Tamén se pode definir GL(M) para calquera $R$-módulo, pero en xeral isto non é isomorfo a $\operatorname {GL} (n,R)$ (para ningún $n$).

En termos de determinantes

Sobre un corpo $F$, unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. Polo tanto, unha definición alternativa de $\operatorname {GL} (n,F)$ é como o grupo das matrices con determinante non nulo.

Sobre un anel conmutativo $R$, cómpre ter máis coidado: unha matriz sobre $R$ é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en $R$, é dicir, se o seu determinante é invertible en $R$. Polo tanto, $\operatorname {GL} (n,R)$ pode definirse como o grupo das matrices cuxos determinantes son unidades.

Sobre un anel non conmutativo $R$, os determinantes non teñen un bo comportamento. Neste caso, $\operatorname {GL} (n,R)$ pode definirse como o grupo de unidades do anel de matrices $M(n,R)$.

Historia

O grupo lineal xeral sobre un corpo primo, $\operatorname {GL} (\nu ,p)$, foi construído e a súa orde calculada por Évariste Galois en 1832, na súa última carta (a Chevalier) e no segundo dos (tres) manuscritos anexos, que empregou no contexto do estudo do grupo de Galois da ecuación xeral de orde $p^{\nu }$.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• "Grupo lineal xeral". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].