Grupo linear xeral

En matemáticas, o grupo linear xeral (ou grupo lineal xeral) de grao $n$ é o conxunto de matrices cadradas invertibles $n\times n$, xunto coa operación de produto de matrices. Isto forma un grupo, porque o produto de dúas matrices invertibles é outra vez invertible, e a inversa dunha matriz invertible é invertible, coa matriz identidade como o elemento de identidade do grupo. O grupo é chamado así porque as columnas (e tamén as filas) dunha matriz invertible son linearmente independentes, por iso os vectores/puntos que definen están en posición xeral, e as matrices no grupo lineal xeral levan puntos en posición linear xeral a puntos en posición linear xeral.

Para ser máis preciso, é necesario especificar que clase de obxectos poden aparecer nas entradas da matriz. Por exemplo, o grupo lineal xeral sobre (o conxunto de números reais) é o grupo de matrices invertibles de números reais, e é denotado por $\operatorname {GL} _{n}(\mathbb {R} )$ ou $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$

Máis xeralmente, o grupo lineal xeral de grao $n$ sobre calquera corpo (como os números complexos), ou un anel (como o anel dos enteiros), é o conxunto de matrices invertibles $n\times n$ con entradas desde $F$ (ou $\mathbb {R}$), outra vez coa multiplicación de matrices como operación do grupo. Unha notación típica é $\mathrm {GL} (n,F)$ ou $\mathrm {GL} _{n}(F)$ ou sinxelamente $\operatorname {GL} (n)$ cando se sobreentende o corpo.

Máis xeralmente aínda, o grupo lineal xeral $\operatorname {GL} (V)$ dun espazo vectorial $V$ é o seu grupo de automorfismos, non necesariamente escritos como matrices.

O grupo linear especial, denotado como $\operatorname {SL} (n,F)$ ou $\operatorname {SL} _{n}(F)$ é o subgrupo de $\operatorname {GL} (n,F)$ formado polas matrices con determinante igual a 1.

O grupo $\operatorname {GL} (n,F)$ e os seus subgrupos adoitan chamarse grupos lineares ou grupos matriciais (o grupo de automorfismos $\operatorname {GL} (V)$ é un grupo linear, pero non un grupo matricial). Estes grupos son importantes na teoría de representacións de grupos, e tamén aparecen no estudo das simetrías espaciais e das simetrías dos espazos vectoriais en xeral, así como no estudo dos polinomios. O grupo modular $\operatorname {PSL} (2,\mathbb {Z} )$ pode realizarse como un cociente do grupo linear especial $\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} )$.

Se $n\geq 2$, entón o grupo $\operatorname {GL} (n,F)$ non é abeliano.