Grupo finito

En álxebra abstracta, un grupo finito é un grupo cuxo conxunto subxacente é finito. Os grupos finitos adoitan xurdir cando se considera a simetría de obxectos matemáticos ou físicos, cando eses obxectos admiten só un número finito de transformacións que preservan a estrutura. Exemplos importantes de grupos finitos inclúen os grupos cíclicos e os grupos de permutacións.

O estudo dos grupos finitos foi unha parte integral da teoría de grupos desde que xurdiu no século XIX. Unha área importante de estudo foi a clasificación: a clasificación dos grupos simples finitos (aqueles sen subgrupos normais non triviais) completouse en 2004.

Historia

Durante o século XX, os matemáticos investigaron algúns aspectos da teoría dos grupos finitos en gran profundidade, especialmente a teoría local dos grupos finitos e a teoría dos grupos resolúbeis e nilpotentes.^[1]^[2] Como consecuencia, completouse a clasificación dos grupos simples finitos, o que significa que agora se coñecen todos os grupos simples a partir dos cales se poden construír todos os grupos finitos.

Durante a segunda metade do século XX, matemáticos como Chevalley e Steinberg tamén aumentaron o noso entendemento dos análogos finitos dos grupos clásicos e outros grupos relacionados. Unha familia destes grupos é a familia dos grupos lineares xerais sobre corpos finitos.

Os grupos finitos adoitan ocorrer cando se considera a simetría de obxectos matemáticos ou físicos, cando eses obxectos admiten só un número finito de transformacións que preservan a estrutura. A teoría dos grupos de Lie, que pode verse como aquela que trata coa "simetría continua", está fortemente influenciada polos grupos de Weyl asociados. Estes son grupos finitos xerados por reflexións que actúan sobre un espazo euclidiano de dimensión finita. As propiedades dos grupos finitos poden así xogar un papel en temas como a física teórica e a química.^[3]

Exemplos

Grupos de permutacións

Artigo principal: Grupo de permutacións.

O grupo simétrico S_n sobre un conxunto finito de n símbolos é o grupo cuxos elementos son todas as permutacións dos n símbolos, e cuxa operación de grupo é a composición de esas permutacións, que se tratan como funcións bixectivas do conxunto de símbolos sobre si mesmo.^[4] Dado que hai n! (n factorial) permutacións posíbeis dun conxunto de n símbolos, dedúcese que a orde (o número de elementos) do grupo simétrico S_n é n!.

Grupos cíclicos

Artigo principal: Grupo cíclico.

Un grupo cíclico Z_n é un grupo no que todos os seus elementos son potencias dun elemento particular $a$ onde $a^{n}=a^{0}=e$ , a identidade. Unha realización típica deste grupo é como as $n$ -ésimas raíces da unidade. Enviar $a$ a unha raíz primitiva da unidade dá un isomorfismo entre os dous. Isto pódese facer con calquera grupo cíclico finito.

Grupos abelianos finitos

Artigo principal: Grupo abeliano finito.

Un grupo abeliano, tamén chamado grupo conmutativo, é un grupo no que o resultado de aplicar a operación de grupo a dous elementos do grupo non depende da súa orde (o axioma da conmutatividade). Reciben o nome debido a Niels Henrik Abel.^[5]

Un grupo abeliano finito arbitrario é isomorfo a unha suma directa de grupos cíclicos finitos de orde de potencia prima, e estas ordes están determinadas de forma única, formando un sistema completo de invariantes. O grupo de automorfismos dun grupo abeliano finito pódese describir directamente en termos destas invariantes. A teoría desenvolveuse por primeira vez no artigo de 1879 de Georg Frobenius e Ludwig Stickelberger e posteriormente foi simplificada e xeneralizada a módulos finitamente xerados sobre un dominio de ideais principais, formando un capítulo importante da álxebra linear.

Grupos de tipo Lie

Artigo principal: Grupo de tipo Lie.

Un grupo de tipo Lie é un grupo estreitamente relacionado co grupo G(k) de puntos racionais dun grupo alxébrico linear redutivo G con valores no corpo k. Os grupos finitos de tipo Lie constitúen a maioría dos grupos simples finitos non abelianos. Casos especiais inclúen os grupos clásicos, os grupos de Chevalley, os grupos de Steinberg e os grupos de Suzuki-Ree.

Os grupos finitos de tipo Lie foron uns dos primeiros grupos considerados en matemáticas, despois dos grupos cíclicos, simétricos e alternantes, cos grupos lineares especiais proxectivos sobre corpos finitos primos, PSL(2, p) construídos por Évariste Galois nos anos 1830.

A crenza converteuse agora nun teorema, a clasificación dos grupos simples finitos. A inspección da lista de grupos simples finitos mostra que os grupos de tipo Lie sobre un corpo finito inclúen todos os grupos simples finitos agás os grupos cíclicos, os grupos alternantes, o grupo de Tits e os 26 grupos simples esporádicos.

Teoremas principais

Teorema de Lagrange

Artigo principal: Teorema de Lagrange (teoría de grupos).

Para calquera grupo finito G, a orde (número de elementos) de cada subgrupo H de G divide a orde de G. O teorema recibe o nome de Joseph-Louis Lagrange.

Teoremas de Sylow

Artigo principal: Teoremas de Sylow.

Estes teoremas proporcionan unha inversa parcial ao teorema de Lagrange, dando información sobre cantos subgrupos dunha orde dada están contidos en G.

Teorema de Cayley

Artigo principal: Teorema de Cayley.

O teorema de Cayley, en honor a Arthur Cayley, afirma que cada grupo G é isomorfo a un subgrupo do grupo simétrico que actúa sobre G.^[6] Isto pódese entender como un exemplo da acción de grupo de G sobre os elementos de G.^[7]

Teorema de Burnside

Artigo principal: Teorema de Burnside.

O teorema de Burnside na teoría de grupos afirma que se G é un grupo finito de orde p^aq^b, onde p e q son números primos, e a e b son enteiros non negativos, entón G é resolúbel. Polo tanto, todo grupo simple finito non abeliano ten unha orde divisíbel por polo menos tres primos distintos.

Teorema de Feit-Thompson

O teorema de Feit-Thompson, ou teorema da orde impar, afirma que cada grupo finito de orde impar é resolúbel. Foi demostrado por Walter Feit e John Griggs Thompson en 1962, 1963.

Clasificación dos grupos simples finitos

A clasificación dos grupos simples finitos é un teorema que afirma que todo grupo simple finito pertence a unha das seguintes familias:

Un grupo cíclico con orde prima;
Un grupo alternante de grao polo menos 5;
Un grupo simple de tipo Lie;
Un dos 26 grupos simples esporádicos;
O grupo de Tits (ás veces considerado como un 27º grupo esporádico).

Os grupos simples finitos pódense ver como os bloques básicos de construción de todos os grupos finitos, dun xeito semellante ao modo no que os números primos son os bloques básicos de construción dos números naturais. O teorema de Jordan-Hölder é unha forma máis precisa de enunciar este feito sobre os grupos finitos. No entante, unha diferenza significativa en relación ao caso da factorización de enteiros é que eses "bloques de construción" non determinan necesariamente de forma única un grupo, xa que pode haber moitos grupos non isomorfos coa mesma serie de composición ou, dito doutro xeito, o problema de extensión non ten unha solución única.

A demostración do teorema consiste en decenas de miles de páxinas en varios centos de artigos de revistas escritos por uns 100 autores, publicados principalmente entre 1955 e 2004. Gorenstein (d.1992), Lyons e Solomon están publicando gradualmente unha versión simplificada e revisada da demostración.

Número de grupos dunha orde dada

Dado un enteiro positivo n, non é unha cuestión rutineira determinar cantos tipos de isomorfismos de grupos de orde n hai. Cada grupo de orde prima é un cíclico, porque o teorema de Lagrange implica que o subgrupo cíclico xerado por calquera dos seus elementos non identidade é o grupo completo. Se n é o cadrado dun primo, entón hai exactamente dous tipos de isomorfismo posíbleis de grupos de orde n, ambos os dous abelianos. Se n é unha potencia maior dun primo, entón os resultados de Graham Higman e Charles Sims dan estimacións asintoticamente correctas para o número de tipos de isomorfismo de grupos de orde n, e o número medra moi rapidamente a medida que aumenta a potencia.

Dependendo da factorización prima de n, poden imporse algunhas restricións sobre a estrutura dos grupos de orde n, como consecuencia, por exemplo, de resultados como os teoremas de Sylow. Por exemplo, cada grupo de orde pq é cíclico cando q < p son primos con p − 1 non divisíbel por q. Para unha condición necesaria e suficiente, véxase número cíclico.

Se n é un enteiro libre de cadrados, entón calquera grupo de orde n é resolúbel. O teorema de Burnside, demostrado usando caracteres de grupo, afirma que cada grupo de orde n é resolúbel cando n é divisíbel por menos de tres primos distintos, é dicir, se n = p^aq^b, onde p e q son números primos, e a e b son enteiros non negativos. Polo teorema de Feit-Thompson, que ten unha demostración longa e complicada, cada grupo de orde n é resolúbel cando n é impar.

Notas

↑ Aschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society 51 (7). pp. 736–740.
↑ Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
↑ Group Theory and its Application to Chemistry The Chemistry LibreTexts library
↑ Jacobson 2009, p. 31
↑ Jacobson 2009, p. 41
↑ Jacobson 2009, p. 38
↑ Jacobson 2009, p. 72, ex. 1

Véxase tamén

Bibliografía

Jacobson, Nathan (2009). Basic Algebra I (2nd ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.

Outros artigos

Ligazóns externas

(secuencia A000001 na OEIS) Número de grupos de orde n
(secuencia A000688 na OEIS) Número de grupos Abelianos de orde n
(secuencia A060689 na OEIS) Número de grupos non Abelianos de orde n
Grupos pequenos en GroupNames
Un clasificador para grupos de orde pequena

[1] Aschbacher, Michael (2004). "The Status of the Classification of the Finite Simple Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society 51 (7). pp. 736–740.

[2] Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.

[3] Group Theory and its Application to Chemistry The Chemistry LibreTexts library

[Jacobson-def-4] Jacobson 2009, p. 31

[5] Jacobson 2009, p. 41

[6] Jacobson 2009, p. 38

[7] Jacobson 2009, p. 72, ex. 1

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]