Grupo de simetría

Na teoría de grupos, o grupo de simetría dun obxecto xeométrico é o grupo de todas as transformacións xeométricas baixo as que o obxecto é invariante, dotado da operación de grupo de composición. Tal transformación é un mapa invertíbel do espazo ambiente que leva o obxecto para si mesmo e que conserva toda a estrutura relevante do obxecto. Unha notación frecuente para o grupo de simetría dun obxecto X é G = Sym(X).

Para un obxecto nun espazo métrico, as súas simetrías forman un subgrupo do grupo de isometría do espazo ambiental. Este artigo considera principalmente os grupos de simetría na xeometría euclidiana, pero o concepto tamén se pode estudar para tipos máis xerais de estrutura xeométrica.

Introdución

Os "obxectos" poden ser figuras xeométricas, imaxes ou modelos. A definición pódese facer máis precisa especificando o que se entende por imaxe ou modelo, por exemplo, unha función de posición con valores nun conxunto de cores. Para a simetría dos corpos 3D, por exemplo, tamén podemos querer ter en conta a composición física. O grupo de isometrías espaciais induce unha acción de grupo sobre os obxectos que contén.

O grupo de simetría ás veces chámase grupo de simetría completa para destacar que inclúe isometrías que inverten a orientación (como reflexións, reflexións con deslizamento e as antirotacións) baixo as que a figura é invariante. O subgrupo de isometrías que conservan a orientación (é dicir, as translacións, a rotacións e as composicións destas) e que deixan invariábel a figura chámase grupo de simetría propia ou grupo de desprazamento. O grupo de simetría propia dun obxecto é igual ao seu grupo de simetría completo se e só se o obxecto é quiral (e, polo tanto, non existen isometrías de inversión de orientación baixo as que sexa invariante).

Calquera grupo de simetría cuxos elementos teñan un punto fixo común, o que é certo para todos os grupos de simetría de figuras limitadas, pódese representar como un subgrupo do grupo ortogonal O(n) escollendo un punto fixo como a orixe. O grupo de simetría propio é logo un subgrupo do grupo ortogonal especial SO(n), que tamén se lle chama grupo de rotación da figura.

Os grupos de simetría discretos son de tres tipos:

grupos de simetría de puntos, finitos, que inclúen só rotacións, reflexións, inversións e rotacións impropias; de feito, son simplemente subgrupos finitos de O(n);
grupos infinitos de retículas, que só inclúen translacións;
grupos espaciais infinitos que combinan elementos dos dous tipos anteriores, e que tamén poden incluír transformacións adicionais.

Tamén hai grupos de simetrías continuas, que conteñen rotacións de ángulos arbitrariamente pequenos ou translacións de distancias arbitrariamente pequenas. O grupo de todas as simetrías dunha esfera O(3) é un exemplo diso, e en xeral, eses grupos de simetrías continuas estúdanse como Grupos de Lie.

A clasificación de subgrupos do grupo euclidiano corresponde a unha clasificación de grupos de simetría.

Dicimos que dúas figuras xeométricas teñen o mesmo tipo de simetría se os seus respectivos grupos de simetría H₁, H₂ son subgrupos conxugados do grupo euclidiano E(n), é dicir se existe unha isometría g de Rⁿ tal que H₁=g^-1H₂g. Por exemplo:

dúas figuras 3D teñen simetría de espello, mais con respecto a un plano espello diferente;
dúas figuras 3D teñen simetría rotacional de orde 3, mais con respecto a un eixo diferente;
dous modelos 2D teñen simetría de translación, cada un nunha dirección; os dous vectores de translación teñen a mesma lonxitude mais unha dirección diferente.

Ás veces úsase un concepto máis amplo, "mesmo tipo de simetría", por exemplo nos 17 Grupos de papel pintado.

Nas seguintes seccións, só consideramos grupos de isometría cuxas órbitas están pechadas topolóxicamente, incluíndo todos os grupos de isometría discretos e continuos. No entanto, isto exclúe, por exemplo, o grupo 1D de translacións por un número racional; tal figura non pechada non se pode debuxar cunha precisión razoábel debido ao seu detalle arbitrariamente fino.

Unha dimensión

Os grupos de isometría nunha dimensión son:

o grupo cíclico trivial C₁.
os grupos de dous elementos xerados por unha reflexión; son isomorfos con C₂.
os grupos discretos infinitos xerados por unha translación; son isomorfos con Z, o grupo aditivo dos números enteiros.
os grupos discretos infinitos xerados por unha translación e unha reflexión; son isomorfos co grupo diédrico xeneralizado de Z, Dih(Z), tamén denotado por D_∞ (que é un produto semidirecto de Z e C₂).
o grupo xerado por todas as translacións (isomorfo co grupo aditivo dos números reais R); este grupo non pode ser o grupo de simetría dunha figura euclidiana, nin sequera dotada dun modelo: tal modelo sería homoxéneo, polo que tamén podería reflectirse. No entanto, un campo vectorial unidimensional constante ten este grupo de simetría.
o grupo xerado por todas as translacións e reflexións en puntos; son isomorfos co grupo diédrico xeneralizado Dih(R).

Dúas dimensións

Ata a conxugación, os grupos de puntos discretos no espazo bidimensional son as seguintes clases:

os grupos cíclicos C₁, C₂, C₃, C₄ ,... onde C_n consiste en todas as rotacións arredor dun punto fixo por múltiplos do ángulo 360°/n
os grupos diédricos D₁, D₂, D₃, D₄, ... , onde D_n (de orde 2n) consiste nas rotacións en C_n xunto coas reflexións en n eixos que pasan polo punto fixo.

Os restantes grupos isométricos en dúas dimensións cun punto fixo son:

o grupo ortogonal especial SO(2) que consiste en todas as rotacións arredor dun punto fixo; tamén se lle chama grupo circular S¹, o grupo multiplicativo de números complexos de valor absoluto 1. É o grupo de simetría propio dunha circunferencia e o equivalente continuo de C_n. Non hai ningunha figura xeométrica que teña como grupo de simetría completa o grupo circular, mais para un campo vectorial pode aplicarse (ver o caso tridimensional a continuación).
o grupo ortogonal O(2) que consiste en todas as rotacións arredor dun punto fixo e as reflexións en calquera eixo a través dese punto fixo. Este é o grupo de simetría dun círculo. Tamén se chama Dih(S¹) xa que é o grupo diédrico xeneralizado de S¹.

As figuras non limitadas poden ter grupos de isometría incluíndo translación; estes son:

os 7 grupos de frisos
os 17 grupos de papel pintado
para cada un dos grupos de simetría nunha dimensión, a combinación de todas as simetrías dese grupo nunha dirección e o grupo de todas as translacións na dirección perpendicular
ídem con tamén reflexións nunha liña na primeira dirección.

Tres dimensións

Ata a conxugación o conxunto de grupos de puntos tridimensionais consta de 7 series infinitas e outros 7 grupos individuais. Na cristalografía, só se consideran os grupos de puntos que conservan algunha rede cristalina (polo que as súas rotacións só poden ter orde 1, 2, 3, 4 ou 6). Esta restrición cristalográfica das infinitas familias de grupos de puntos xerais dá como resultado 32 grupos de puntos cristalográficos (27 grupos individuais da serie 7 e 5 dos outros 7).

Os grupos de simetría continua cun punto fixo inclúen os de:

simetría cilíndrica sen un plano de simetría perpendicular ao eixo. Isto aplícase, por exemplo, a unha botella ou un cono.
simetría cilíndrica cun plano de simetría perpendicular ao eixo.
simetría esférica.

Estrutura do grupo en termos de simetrías

O teorema de Cayley afirma que calquera grupo abstracto é un subgrupo das permutacións dalgún conxunto X, polo que se pode considerar como un grupo de simetría de X con algunha estrutura extra. A maiores, moitas características abstractas do grupo (definidas puramente en termos da operación do grupo) pódense interpretar en termos de simetrías.

Por exemplo, sexa G = Sym(X) o grupo de simetría finita dunha figura X nun espazo euclidiano e sexa H ⊂ G un subgrupo. Entón H pódese interpretar como o grupo de simetría de X⁺, unha versión "decorada" de X. Tal decoración pódese construír do seguinte xeito. Engadimos algúns modelos como frechas ou cores a X para romper toda a simetría, obtendo unha figura X^# con Sym(X ^#) = {1}, o subgrupo trivial; é dicir, gX ^# ≠ X ^# para todo g ∈ G non trivial. Agora temos:

X^{+}\ =\ \bigcup _{h\in H}hX^{\#}\quad {\text{satisfai}}\quad H=\mathrm {Sym} (X^{+}).

Neste marco tamén se poden caracterizar os subgrupos normais. O grupo de simetría da translación gX⁺ é o subgrupo conxugado gHg⁻¹. Así, H é normal sempre que:

\mathrm {Sym} (gX^{+})=\mathrm {Sym} (X^{+})\ \ {\text{para todo}}\ g\in G;

é dicir, sempre que a decoración de X⁺ pode ser debuxada en calquera orientación, en relación a calquera lado ou característica de X, e aínda produce o mesmo grupo de simetría gHg⁻¹ = H.

Como exemplo, considere o grupo diédrico G = D₃ = Sym(X), onde X é un triángulo equilátero. Podemos decoralo cunha frecha nun lado, obtendo unha figura asimétrica X^#. Sendo τ ∈ G a reflexión do lado con frecha, a figura composta X⁺ = X^# ∪ τX^# ten unha frecha bidireccional nese lado e o seu grupo de simetría é H = {1, τ}. Este subgrupo non é normal, xa que gX⁺ pode ter a bifrecha nun lado diferente, dando un grupo de simetría de reflexión diferente.

Porén, sendo H = {1, ρ, ρ² } ⊂ D₃ o subgrupo cíclico xerado por unha rotación, a figura decorada X⁺ consta dun ciclo de 3 frechas cunha orientación consistente. Entón H é normal, xa que debuxar un ciclo con calquera das dúas orientacións dá o mesmo grupo de simetría H.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Burns, G.; Glazer, A. M. (1990). Space Groups for Scientists and Engineers (2nd ed.). Boston: Academic Press, Inc. ISBN 0-12-145761-3.
Clegg, W (1998). Crystal Structure Determination (Oxford Chemistry Primer). Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-855901-1.
O'Keeffe, M.; Hyde, B. G. (1996). Crystal Structures; I. Patterns and Symmetry. Washington, DC: Mineralogical Society of America, Monograph Series. ISBN 0-939950-40-5.

Outros artigos

Ligazóns externas