Genus (matemáticas)

En matemáticas, o genus (ou xénero) ten varios significados diferentes, mais moi relacionados. Intuitivamente, o genus é o número de "buratos" dunha superficie.^[1] Unha esfera ten genus 0, mentres que un toro ten genus 1.

Topoloxía

Superficies orientábeis

A cunca de café e a rosquilla que se mostran nesta animación teñen genus 1.

O genus dunha superficie conexa e orientábel é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo de curvas simples pechadas que non se intersecan sen que se desconecte a variedade resultante.^[2] É igual ao número de asas que hai.

Alternativamente, pódese definir en termos da característica de Euler $\chi$ , a través da relación $\chi =2-2g$ para superficies pechadas, onde $g$ é o genus. Para superficies con $b$ compoñentes fronteira, a ecuación sería $\chi =2-2g-b$ .

Por exemplo:

A esfera $S^{2}$ e un disco ambos os dous teñen genus cero.
Un toro ten genus 1, así como a superficie dunha cunca de café con asa.

A construción explícita de superficies do genus g dáse no artigo sobre o polígono fundamental.

Genus de superficies orientábeis
Grafo plano: genus 0
Grafo toroidal: genus 1
Teteira: Duplo grafo toroidal: genus 2
Grafo de Pretzel: genus 3

Superficies non orientábeis

O genus non orientábel, demigenus ou genus de Euler dunha superficie pechada non orientábel conexa é un número enteiro positivo que representa o número de casquetes cruzados unidos a unha esfera. Alternativamente, pódese definir para unha superficie pechada en termos da característica de Euler χ, mediante a relación χ = 2 − k, onde k é o genus non orientábel.

Por exemplo:

Un plano proxectivo real ten un genus 1 non orientábel.
Unha botella Klein ten o genus 2 non orientábel.

Nó

O genus dun nó K defínese como o genus mínimo de todas as superficies de Seifert para K.^[3] Unha superficie de Seifert dun nó é, porén, unha variedade con fronteira, sendo a fronteira o nó, é dicir, homeomorfo á circunferencia unitaria. O genus de tal superficie defínese como o genus da 2-variedade, que se obtén colando o disco unitario ao longo da fronteira.

Corpo con asas

O genus dun corpo con asas tridimensional é un número enteiro que representa o número máximo de cortes ao longo dos discos mergullados sen que sexa non conexa a variedade resultante. É igual ao número de asas que ten.

Por exemplo:

Unha bóla ten genus 0.
Un toro sólido D² × S¹ ten genus 1.

Teoría de grafos

O genus dun grafo é o número enteiro mínimo n tal que o grafo pode ser debuxado nunha esfera con n asas sen cruzarse (é dicir, unha superficie orientada de genus n). Así, un grafo plano ten o genus 0, porque se pode debuxar nunha esfera sen cruzarse.

Na teoría de grafos topolóxicos hai varias definicións do genus dun grupo. Arthur T. White introduciu o seguinte concepto: o genus dun grupo G é o genus mínimo dun grafo de Cayley (conexo, non orientado) para G.

Xeometría alxébrica

Hai dúas definicións relacionadas de genus de calquera esquema alxébrico proxectivo $X$ : o genus aritmético e o genus xeométrico.^[4] Cando $X$ é unha curva alxébrica con corpo de definición os números complexos, e se $X$ non ten puntos singulares, entón estas definicións coinciden e coinciden coa definición topolóxica aplicada á superficie de Riemann de $X$ (a súa variedade de puntos complexos). Por exemplo, a definición de curva elíptica a partir da xeometría alxébrica está ligada á curva proxectiva non singular de genus 1 cun punto racional dado sobre ela.

Polo teorema de Riemann-Roch, unha curva plana de grao irredutíbel $d$ dada polo lugar de esvaecemento dunha sección $s\in \Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(d))$ ten genus xeométrico

g={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}-s,

onde $s$ é o número de singularidades cando se contan correctamente.

Xeometría diferencial

En xeometría diferencial, o genus dunha variedade orientada $M$ pode definirse como un número complexo $\Phi (M)$ suxeito ás condicións

$\Phi (M_{1}\amalg M_{2})=\Phi (M_{1})+\Phi (M_{2})$
$\Phi (M_{1}\times M_{2})=\Phi (M_{1})\cdot \Phi (M_{2})$
$\Phi (M_{1})=\Phi (M_{2})$ se $M_{1}$ e $M_{2}$ son cobordantes.

Noutras palabras, $\Phi$ é un homomorfismo de aneis $R\to \mathbb {C}$ , onde $R$ é o anel de cobordismo orientado de Thom.

O genus $\Phi$ é multiplicativo para todos os fibrados de variedades de espinor cunha estrutura compacta conexa se $\log _{\Phi }$ é unha integral elíptica como $\log _{\Phi }(x)=\int _{0}^{x}(1-2\delta t^{2}+\varepsilon t^{4})^{-1/2}dt$ para algúns $\delta ,\varepsilon \in \mathbb {C} .$

Este genus chámase genus elíptico.

A característica de Euler $\chi (M)$ non é un genus neste sentido xa que non é invariante en relación aos cobordismos.

Notas

↑ Popescu-Pampu 2016, p. xiii.
↑ Popescu-Pampu 2016, p. xiv.
↑ Adams, Colin (2004). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1.
↑ Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.

Véxase tamén

Bibliografía

Popescu-Pampu, Patrick (2016). What is the Genus?. Springer Verlag. ISBN 978-3-319-42312-8.

Outros artigos

[FOOTNOTEPopescu-Pampu2016xiii-1] Popescu-Pampu 2016, p. xiii.

[FOOTNOTEPopescu-Pampu2016xiv-2] Popescu-Pampu 2016, p. xiv.

[3] Adams, Colin (2004). The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3678-1.

[4] Hirzebruch, Friedrich (1995) [1978]. Topological methods in algebraic geometry. Classics in Mathematics. Translation from the German and appendix one by R. L. E. Schwarzenberger. Appendix two by A. Borel (Reprint of the 2nd, corr. print. of the 3rd ed.). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-58663-0. Zbl 0843.14009.

[1]

[2]

[3]

[4]