Función primitiva
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Slope_Field.png/220px-Slope_Field.png)
En cálculo, unha función primitiva, integral indefinida, antiderivada, derivada inversa,ou integral primitiva dunha función f é unha función diferenciable F cuxa derivada é igual á función orixinal f . Isto pódese indicar simbolicamente como F' = f.[1][2] O proceso de resolución de antiderivadas chámase integración indefinida (ou antidiferenciación), e a súa operación contraria chámase diferenciación, que é o proceso de atopar unha derivada. As antiderivadas adoitan denotarse con letras romanas maiúsculas como F e G.
As funcións primitivas están relacionadas coas integrais definidas a través do segundo teorema fundamental do cálculo: a integral definida dunha función nun intervalo pechado onde a función é integrable de Riemann é igual á diferenza entre os valores dunha antiderivada avaliada nos extremos do intervalo.
Exemplos
[editar | editar a fonte]A función é unha antiderivada de , xa que a derivada de é . Como a derivada dunha constante é cero, terá un número infinito de antiderivadas, como , etc. Así, todos os antiderivados de pódese obter cambiando o valor de c in , onde c é unha constante arbitraria coñecida como constante de integración. Esencialmente, os gráficos de antiderivadas dunha función dada son translacións verticais entre si, coa localización vertical de cada gráfico dependendo do valor c
Máis xeralmente, a función ten antiderivada se n ≠ −1 e se n = −1 .
Usos e propiedades
[editar | editar a fonte]As funcións primitivas pódense usar para calcular integrais definidas, usando o teorema fundamental do cálculo: se F é unha antiderivada da función continua f sobre o intervalo , logo:
Hai moitas funcións cuxas antiderivadas, aínda que existen, non se poden expresar en funcións elementais (como polinomios, funcións exponenciais, logaritmos, funcións trigonométricas, funcións trigonométricas inversas e as súas combinacións). Exemplos destas son
Técnicas de integración
[editar | editar a fonte]Buscar funcións primitivas de funcións elementais adoita ser considerablemente máis difícil que atopar as súas derivadas (de feito, non hai un método predefinido para calcular integrais indefinidas).[3] Para algunhas funcións elementais, é imposible atopar unha antiderivada en termos doutras funcións elementais.
Existen moitas propiedades e técnicas para atopar funcións primitivas. Estas inclúen, entre outras:
- A linearidade da integración (que divide as integrais complicadas en outras máis sinxelas)
- Integración por substitución, moitas veces combinada con identidades trigonométricas ou o logaritmo neperiano
- O método da regra da cadea inversa (un caso especial de integración por substitución)
- Integración por partes (para integrar produtos de funcións)
- Integración de funcións inversas (fórmula que expresa a función primitiva da inversa dunha función inversa e continua f, en termos da antiderivada de f e de ).
- O método das fraccións parciais en integración (que nos permite integrar todas as funcións racionais: fraccións de dous polinomios)
- O algoritmo de Risch
- Técnicas adicionais para integracións múltiples (ver, por exemplo , as integrais dobres, as coordenadas polares, o jacobiano e o teorema de Stokes)
- Integración numérica (unha técnica para aproximar unha integral definida cando non existe ningunha función primitiva elemental, como no caso de .)
- Manipulación alxébrica do integrando (para que se poidan utilizar outras técnicas de integración, como a integración por substitución)
- Fórmula de Cauchy para integracións sucesivas (para calcular a antiderivada n veces dunha función)
Os sistemas alxébricos computacionais (CAS) poden usarse para automatizar parte ou todo o traballo implicado nas técnicas simbólicas anteriores, o que é particularmente útil cando as manipulacións alxébricas implicadas son moi complexas ou longas. As integrais que xa foron derivadas pódense buscar nunha táboa de integrais.
Funcións non continuas
[editar | editar a fonte]As funcións non continuas poden ter antiderivadas. Aínda hai preguntas abertas nesta área, mais sábese que:
- Algunhas funcións altamente patolóxicas con grandes conxuntos de descontinuidades poden ter antiderivadas. Unhas poderán ser resolvidas mediante integración de Riemann e outras non.
Asumindo que os dominios das funcións son intervalos abertos:
- Unha condición necesaria, mais non suficiente, para que unha función f teña unha antiderivada é que f teña a propiedade do valor intermedio. É dicir, se [a, b] é un subintervalo do dominio de f e y é calquera número real entre f(a) e f(b), entón existe un c entre a e b tal que f(c) = y. Esta é unha consecuencia do teorema de Darboux.
- O conxunto de descontinuidades de f debe ser un conxunto magro. Este conxunto tamén debe ser un conxunto F-sigma.
- Se f ten unha antiderivada, está limitada a subintervalos finitos pechados do dominio e ten un conxunto de descontinuidades de medida de Lebesgue 0, entón pódese atopar unha antiderivada por integración no sentido de Lebesgue. De feito, usando integrais máis potentes como a integral de Henstock–Kurzweil, cada función para a que existe unha antiderivada é integrable e a súa integral xeral coincide coa súa antiderivada.
- Se f ten unha antiderivada F nun intervalo pechado , entón para calquera opción de partición se se escolle puntos de mostra segundo o especificado polo teorema do valor medio, entón a suma de Riemann correspondentes pode usar unha serie telescópica con resultado . Non obstante, se f non está limitada, ou se f está limiada mais o conxunto de descontinuidades de f ten unha medida de Lebesgue positiva, unha elección diferente de puntos de mostra pode dar un valor significativamente diferente para a suma de Riemann, por moi fina que sexa a partición. Vexa o exemplo 4 a continuación.
Algúns exemplos
[editar | editar a fonte]- 1. A función
con é descontinua en mais ten a antiderivada con . Posto que f está limitada en intervalos finitos pechados e só é descontinua en 0, a antiderivada F pode obterse por integración: .
- 2. A función
con non é continua en mais ten a antiderivada con . Pola contra do Exemplo 1, f(x) non está limitada en ningún intervalo que conteña 0, por tanto a integral de Riemann fica indefinida.
- 3. Se f(x) é a function do Exemplo 1 e F é a súa antiderivada, e é un subconxunto numerable denso do intervalo aberto daquela a función
ten a antiderivada
O conxunto de descontinuidades de g é precisamente o conxunto . Dado que g está limitada a intervalos finitos pechados e o conxunto de descontinuidades ten medida 0, a antiderivada G pódese atopar por integración.
- 4. Sexa un subconxunto numerábel denso do intervalo aberto Considere a función crecente continua en todas partes
Pódese demostrar que
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b8/Antideriv1.png/125px-Antideriv1.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/27/Antideriv2.png/125px-Antideriv2.png)
para todos os valores x onde a serie converxe, e que a gráfica de F(x) ten liñas tanxentes verticais en todos os demais valores de x. En particular, a gráfica ten liñas tanxentes verticais en todos os puntos do conxunto .
Alén diso, para todos os x onde se define a derivada. De aquí temos que a función inversa é diferenciable en todas as partes e que
para todos os x no conxunto que é denso no intervalo Así g ten unha antiderivada G.
Por outra parte, non pode ser verdade que posto que para calquera partición de , podemos escoller puntos para os que a suma de Riemann do conxunto , dan un valor 0 para a suma. Con todo isto temos que g ten un conxunto de descontinuidades con medida positiva de Lebesgue.
A Figura 1 da dereita mostra unha aproximación á gráfica de g(x) onde e a serie está truncada a 8 termos. A Figura 2 mostra a gráfica dunha aproximación á antiderivada G(x), tamén truncada a 8 termos. Por outra banda, se a integral de Riemann é substituída pola integral de Lebesgue, daquela o lema de Fatou ou o teorema da converxencia dominada mostran que g satisfai o teorema fundamental do cálculo nese contexto.
- 5. Nos Exemplos 3 e 4, os conxuntos de descontinuidades das funcións g son densos só nun intervalo aberto finito No entanto, estes exemplos poden modificarse facilmente para ter conxuntos de descontinuidades que son densos en toda a liña real . Sexa
Daquela ten un conxunto denso de descontinuidades en e ten antiderivadas
- 6. Usando un método similar ao do Exemplo 5, pódese modificar g no exemplo 4 para eliminar todos os números racionais. Se se usa unha versión inxenua da integral de Riemann definida como o límite das sumas de Riemann á esquerda ou á dereita sobre particións regulares, obterase que a integral de tal función g nun intervalo é 0 sempre que a e b sexan racionais, en lugar de . Así, o teorema fundamental do cálculo fallará.
- 7. Unha función que ten unha antiderivada aínda pode non ser integrable de Riemann. A derivada da Función de Volterra é un exemplo.
Fórmulas básicas
[editar | editar a fonte]- Se , daquela.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.
- ↑ Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). Calculus (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2.
- ↑ "antiderivative and indefinite integration". brilliant.org.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]![]() |
Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Función primitiva |
Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Introduction to Classical Real Analysis, by Karl R. Stromberg; Wadsworth, 1981 (ver also)
- Historical Essay On Continuity Of Derivatives de Dave L. Renfro
Outros artigos
[editar | editar a fonte]- Antiderivada (análise complexa)
- Integral de Jackson
- Listas de integrais
- Integración simbólica
- Área
- Integral de Riemann
- Integral de Lebesgue
Ligazóns externas
[editar | editar a fonte]- Wolfram Integrator — Integración simbólica online gratuíta co software de Mathematica
- Function Calculator de WIMS
- Integral at HyperPhysics
- Antiderivatives and indefinite integrals na Khan Academy
- Integral calculator en Symbolab
- The Antiderivative no MIT
- Introduction to Integrals en SparkNotes
- Antiderivatives en Harvy Mudd College