Función de densidade

En matemáticas e estatística, a función de densidade (en inglés, probability density function: pdf) serve para representar a distribución de probabilidade en termos de integrais. Unha función de densidade de probabilidade é sempre non-neativa e a súa integral dende −∞ ata +∞ é igual a 1. Se unha distribución de probabilidade ten densidade f(x), entón, intuitivamente o intervalo infinitesimal [x, x + dx] ten probabilidade f(x) dx. A función de densidade de probabilidade pode verse como unha versión "suavizada" dun histograma: se alguén mide empiricamente valores dunha variable aleatoria continua repetidamente e produce un histograma coas frecuencias relativas dos rangos de saída, entón este histograma dará lugar á densidade de probabilidade da variable aleatoria (asumindo que sobre a variable se escollen mostras suficientemente a miúdo e os rangos de saída son suficientemente pequenos).

Formalmente, unha distribución de probabilidade ten densidade f(x) se f(x) é unha función non-negativa Lebesgue-integrable R → R de xeito que a probabilidade do intervalo [a, b] vén dada por

$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

para calquera dous números a e b. Isto implica que a integral total de f debe ser 1. Á inversa, calquera función non-negativa integrable por Lebesgue con integral total 1 é a densidade de probabilidade dunha distribución de probabilidade definida axeitadamente.

Explicación simplificada

A función de densidade de probabilidade é calquera función f(x) que describe a densidade de probabilidade en termos da variable de entrada x do seguinte xeito:

• f(x) é maior ou igual a cero para tódolos valores de x
• A área total baixo a gráfica é 1:

$\int _{-\infty }^{\infty }\,f(x)\,dx=1$

A probabilidade actual pode ser calculada mediante a integral da función f(x) no intervalo de integración da variable de entrada x.

Por exemplo: a variable x no intervalo 4.3 < x < 7.8 tería a probabilidade

$\Pr(4.3<x<7.8)=\int _{4.3}^{7.8}f(x)\,dx.$

Máis detalles

Por exemplo, a distribución uniforme continua no intervalo [0,1] ten densidade de probabilidade f(x) = 1 para 0 ≤ x ≤ 1 e cero no resto. A distribución normal estándar ten densidade de probabilidade

$f(x)={e^{-{x^{2}/2}} \over {\sqrt {2\pi }}}.$

Dada unha variable aleatoria X, se a súa distribución admite a función de densidade de probabilidade f(x), entón o valor esperado de X (se existe) pode ser calculado como

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.$

Non todas as distribucións de probabilidade teñen función de densidade: as distribucións de variables aleatorias discretas non teñen, tampouco a distribución de Cantor aínda que non ten compoñente discreta e non asigna probabilidade positiva a ningún punto individual.

Unha distribución ten función de densidade se e só se a súa función de distribución de probabilidade F(x) é absolutamente continua. Nese caso, F é diferenciable en todo o rango, e a súa derivada pode ser usada como densidade de probabilidade:

${\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).$

Se a distribución de probabilidade admite unha densidade, entón a probabilidade de cada conxunto dun só punto {a} é cero.

É un erro común pensar que f(a) é a probabilidade de {a}; de feito, f(a) será a miúdo maior que 1. Pódese considerar por exemplo unha variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 e 1/2.

Dúas densidades de probabilidade f e g representan a mesma distribución de probabilidade se e só se se diferencian nun conxunto de medidas cero de Legesgue.

No campo da física estatística, unha reformulación non formal da relación entre a derivada da función de distribución de probabilidade e a función de densidade de probabilidade é usada como a definición da función de densidade de probabilidade. Esta definición alternativa é a seguinte:

Se dt é un número infinitamente pequeno, a probabilidade de que $X$ estea incluído no intervalo [t, t + dt] é igual a $f(t)\,dt$, ou:

$\Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt~$

Relación entre distribucións continuas e discretas

A definición da función de densidade de probabilidade fai posible describir a variable asociada cunha distribución continua usando un conxunto de variables binarias discretas asociadas cos intervalos [a;b] (por exemplo, unha variable con valor 1 se X está en [a;b], e 0 se non).

É posible tamén representar certas variables aleatorias discretas usando unha densidade de probabilidade mediante a función delta de Dirac. Por exemplo, consideremos unha variable aleatoria discreta binaria que toma como valores -1 e 1, con probabilidade 1/2 cada un; a densidade de probabilidade asociada con esta variable é:

$f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1))$.

Máis xeralmente, se unha variable discreta pode tomar n valores diferentes entre os números reais, entón a función de densidade de probabilidade asociada é:

$f(t)={\frac {1}{n}}\Sigma _{i=1}^{n}P_{i}\,\delta (t-x_{i})$, onde $x_{1},\ldots ,x_{n}$ son os valores discretos posibles da variable e $P_{1},\ldots ,P_{n}$ son as probabilidades asociadas con cada un destes valores.

Esta expresión permite determinar características estatísticas de dita variable discreta (como a súa media, varianza e curtose), mediante as fórmulas dadas para unha distribución continua.

Na física, esta descrición é tamén útil para caracterizar matematicamente a configuración inicial dun movemento Browniano.