Funcións hiperbólicas inversas

Gráficas das funcións hiperbólicas inversas.

As funcións hiperbólicas sinh, cosh e tanh en relación a unha hipérbole unitaria son análogas ás funcións circulares sin, cos, tan en relación á circunferencia unitaria. O argumento das funcións hiperbólicas é unha medida de ángulo hiperbólico.

En matemáticas, as funcións hiperbólicas inversas son as funcións inversas das funcións hiperbólicas, análogas ás funcións trigonométricas inversas. Hai seis de uso común: seno hiperbólico inverso, coseno hiperbólico inverso, tanxente hiperbólica inversa, cosecante hiperbólica inversa, secante hiperbólica inversa e cotanxente hiperbólica inversa. Denomínanse habitualmente polos símbolos das funcións hiperbólicas, con prefixo arc ou ar, ou cun superíndice ${-1}$ (como en $\sinh ^{-1}$).

Para un valor dado dunha función hiperbólica, a función hiperbólica inversa proporciona o correspondente ángulo hiperbólico, por exemplo, $\operatorname {arsinh} (\sinh a)=a$ e $\sinh(\operatorname {arsinh} x)=x.$ A medida do ángulo hiperbólico é a lonxitude do arco dunha hipérbole unitaria $x^{2}-y^{2}=1$ medida no plano de Lorentz (non a lonxitude dun arco hiperbólico no plano euclidiano) e dúas veces a área do sector hiperbólico correspondente. Tamén, o ángulo hiperbólico é a área dun sector da hipérbole $xy=1.$ Algúns autores chaman ás funcións hiperbólicas inversas funcións de área hiperbólica.

As funcións hiperbólicas ocorren no cálculo de ángulos e distancias en xeometría hiperbólica. Tamén ocorren nas solucións de moitas ecuacións diferenciais lineares (como a ecuación que define unha catenaria), ecuacións cúbicas e ecuación de Laplace en Coordenadas cartesianas.

Notación

Un raio a través da hipérbole unitaria $x^{2}\ -\ y^{2}\ =\ 1$ no punto $(\cosh \,a,\,\sinh \,a)$, onde $a$ é o dobre da área entre o raio, a hipérbole e o eixo $x$.

Os símbolos máis antigos e máis adoptados usan o prefixo arc (é dicir: arcsinh, arccosh, arctanh, arcsech, arccsch, arccoth), por analoxía coas funcións trigonométricas inversas (arcsin, etc.).

Tamén é común a notación $\sinh ^{-1},$ $\cosh ^{-1},$ etc., aínda que hai que ter coidado de evitar interpretacións erróneas do superíndice −1 como expoñente. A convención estándar é que $\sinh ^{-1}x$ ou $\sinh ^{-1}(x)$ significa a función inversa mentres que $(\sinh x)^{-1}$ ou $\sinh(x)^{-1}$ significa o inverso multiplicativo $1/\sinh x$.

$\sinh ^{2}x$ significa convencionalmente $(\sinh x)^{2}$ e non $\sinh(\sinh x).$

As abreviaturas estándar ISO 80000-2 usan o prefixo ar (é dicir: arsinh, arcosh, artanh, arsech, arcsch, arcoth).

Nas linguaxes de programación informática, as funcións circulares inversas e hiperbólicas adoitan nomearse co prefixo máis curto a (asinh, etc.).

Este artigo adoptará coherentemente o prefixo ar por comodidade.

Definicións en termos de logaritmos

Dado que as funcións hiperbólicas son funcións racionais cadráticas da función exponencial $\exp x$, pódense resolver mediante a fórmula cadrática e despois escribirse en termos do logaritmo natural.

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {arcosh} x&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&1&\leq x<\infty ,\\[10mu]\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}&-1&<x<1,\\[10mu]\operatorname {arcsch} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&-\infty &<x<\infty ,\ x\neq 0,\\[10mu]\operatorname {arsech} x&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)&0&<x\leq 1,\\[10mu]\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}&-\infty &<x<-1\ \ {\text{or}}\ \ 1<x<\infty .\end{aligned}}$

Para os argumentos complexos, as funcións circulares inversas e hiperbólicas inversas, a raíz cadrada e o logaritmo natural son todas funcións multivaloradas.

Fórmulas de suma

$\operatorname {arsinh} u\pm \operatorname {arsinh} v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} u\pm \operatorname {arcosh} v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)$

$\operatorname {artanh} u\pm \operatorname {artanh} v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)$

$\operatorname {arcoth} u\pm \operatorname {arcoth} v=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm uv}{u\pm v}}\right)$

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} u+\operatorname {arcosh} v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}$

Outras identidades

${\begin{aligned}2\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (2x^{2}-1)&\quad {\hbox{ para }}x\geq 1\\4\operatorname {arcosh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}-8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ para }}x\geq 1\\2\operatorname {arsinh} x&=\pm \operatorname {arcosh} (2x^{2}+1)\\4\operatorname {arsinh} x&=\operatorname {arcosh} (8x^{4}+8x^{2}+1)&\quad {\hbox{ para }}x\geq 0\end{aligned}}$

$\ln(x)=\operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)$

Composición de funcións hiperbólicas e hiperbólicas inversas

${\begin{aligned}&\sinh(\operatorname {arcosh} x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{para}}\quad |x|>1\\&\sinh(\operatorname {artanh} x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{para}}\quad -1<x<1\\&\cosh(\operatorname {arsinh} x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\cosh(\operatorname {artanh} x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{para}}\quad -1<x<1\\&\tanh(\operatorname {arsinh} x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\tanh(\operatorname {arcosh} x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{para}}\quad |x|>1\end{aligned}}$

Composición de funcións hiperbólicas inversas e circulares non inversas

$\operatorname {arsinh} \left(\tan \alpha \right)=\operatorname {artanh} \left(\sin \alpha \right)=\ln \left({\frac {1+\sin \alpha }{\cos \alpha }}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\cos \alpha }}\right)$

$\ln \left(\left|\tan \alpha \right|\right)=-\operatorname {artanh} \left(\cos 2\alpha \right)$

Conversións

$\ln x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x^{2}-1}{2x}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {x^{2}+1}{2x}}\right)$

$\operatorname {artanh} x=\operatorname {arsinh} \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)$

$\operatorname {arsinh} x=\operatorname {artanh} \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)=\pm \operatorname {arcosh} \left({\sqrt {1+x^{2}}}\right)$

$\operatorname {arcosh} x=\left|\operatorname {arsinh} \left({\sqrt {x^{2}-1}}\right)\right|=\left|\operatorname {artanh} \left({\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\right)\right|$

Derivadas

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}},{\text{ para todo real }}x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}},{\text{ para todo real }}x>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ para todo real}}|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}},{\text{ para todo real }}|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&{}={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}},{\text{ para todo real }}x\in (0,1)\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&{}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}},{\text{ para todo real }}x{\text{, agás }}0\\\end{aligned}}$

Estas fórmulas pódense obter en función das derivadas das funcións hiperbólicas. Por exemplo, se $x=\sinh \theta$, entón ${\textstyle dx/d\theta =\cosh \theta ={\sqrt {1+x^{2}}},}$

${\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} (x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}.$

Expansións en serie

Pódense obter expansións en series de potencia para as funcións anteriores:

${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcosh} x&=\ln(2x)-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln(2x)-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{2n}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcsch} x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}\pm \cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {arcoth} x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{2n+1}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}$

Unha expansión asintótica para $\operatorname {arsinh}$ é dada por

$\operatorname {arsinh} x=\ln(2x)+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}$

Valores principais no plano complexo

Como funcións de variábel complexa, as funcións hiperbólicas inversas son funcións multivaloradas que son funcións analíticas excepto nun número finito de puntos.

Para tal tipo de funcións, é común definir un valor principal, que é unha función analítica de valor único que coincide cunha rama específica da función multivalorada, sobre un dominio que consiste no plano complexo no que un número finito de arcos elimináronse. Estes arcos chámanse corte de rama. O valor principal da multifunción escóllese nun punto particular e os valores noutros lugares do dominio de definición defínense para coincidir cos atopados por continuación analítica.

Por exemplo, para a raíz cadrada, o valor principal defínese como a raíz cadrada que ten unha parte real positiva. Isto define unha función analítica con valor único, que se define en todas partes, excepto para os valores reais non positivos das variábeis (onde as dúas raíces cadradas teñen unha parte real cero). Este valor principal da función raíz cadrada denotase ${\sqrt {x}}$ no que segue.

Do mesmo xeito, o valor principal do logaritmo, denotado como $\operatorname {Log}$ no que segue, defínese como o valor para o cal a parte imaxinaria ten o menor valor absoluto. Defínese en todas as partes agás para os valores reais non positivos da variábel, para os que dous valores diferentes do logaritmo alcanzan o mínimo.

Para todas as funcións hiperbólicas inversas, o valor principal pódese definir en termos dos valores principais da raíz cadrada e da función logarítmica. Porén, nalgúns casos, as fórmulas de § Definicións en termos de logaritmos non dan un valor principal correcto, xa que dan un dominio de definición que é demasiado pequeno e, nun caso, non conexo.

Valor principal do seno hiperbólico inverso

O valor principal do seno hiperbólico inverso vén dado por

$\operatorname {arsinh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\,.$

O argumento da raíz cadrada é un número real non positivo, se e só se z pertence a un dos intervalos [i, +i∞) e (−i∞, −i] do eixo imaxinario. Se o argumento do logaritmo é real, entón é positivo. Así, esta fórmula define un valor principal para arsinh, con cortes de rama [i, +i∞) e (−i∞, −i]. Isto é óptimo, xa que os cortes de rama deben conectar os puntos singulares i e −i ao infinito.

Valor principal do coseno hiperbólico inverso

A fórmula para o coseno hiperbólico inverso dada en § Definicións en termos de logaritmos non é conveniente, xa que de xeito similar aos valores principais do logaritmo e da raíz cadrada, o valor principal de arcosh non se definiría para o z imaxinario. Así, a raíz cadrada ten que ser factorizada, dando lugar a

$\operatorname {arcosh} z=\operatorname {Log} (z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\,.$

Os valores principais das raíces cadradas están definidos, excepto se z pertence ao intervalo real (−∞, 1]. Se o argumento do logaritmo é real, entón z é real e ten o mesmo signo. Así, a fórmula anterior define un valor principal de arcosh fóra do intervalo real (−∞, 1], que é polo tanto o único corte de rama.

Valores principais da tanxente e da cotanxente hiperbólica inversa

As fórmulas dadas en § Definicións en termos de logaritmos suxire

${\begin{aligned}\operatorname {artanh} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} z&={\frac {1}{2}}\operatorname {Log} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\end{aligned}}$

para a definición dos valores principais da tanxente hiperbólica inversa e da cotanxente. Nestas fórmulas, o argumento do logaritmo é real se e só se z é real. Para artanh, este argumento está no intervalo real (−∞, 0], se z pertence a (−∞, −1] ou a [1, ∞). Para arcoth, o argumento do logaritmo está en (−∞, 0], se e só se z pertence ao intervalo real [−1, 1].

Polo tanto, estas fórmulas definen valores principais convenientes, para os que os cortes de rama son (−∞, −1] e [1, ∞) para a tanxente hiperbólica inversa, e [−1, 1] para a cotanxente hiperbólica inversa.

Valor principal da cosecante hiperbólica inversa

Para a cosecante hiperbólica inversa, o valor principal defínese como

$\operatorname {arcsch} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)$.

Defínese excepto cando os argumentos do logaritmo e da raíz cadrada son números reais non positivos. O valor principal da raíz cadrada defínese así fóra do intervalo [−i, i] da liña imaxinaria. Se o argumento do logaritmo é real, entón z é un número real distinto de cero, e isto implica que o argumento do logaritmo é positivo.

Así, o valor principal defínese pola fórmula anterior fóra do corte de rama que consiste no intervalo [−i, i] da liña imaxinaria.

(En z = 0, hai un punto singular que se inclúe no corte de rama).

Valor principal da secante hiperbólica inversa

Aquí, como no caso do coseno hiperbólico inverso, temos que factorizar a raíz cadrada. Isto dá o valor principal

$\operatorname {arsech} z=\operatorname {Log} \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\right).$

Se o argumento dunha raíz cadrada é real, entón z é real, e dedúcese que os dous valores principais das raíces cadradas están definidos, agás se z é real e pertence a un dos intervalos (−∞, 0] e [1, +∞). Se o argumento do logaritmo é real e negativo, entón z tamén é real e negativo. Dedúcese que o valor principal de arsech está ben definido, pola fórmula anterior fóra de dous cortes de rama, os intervalos reais (−∞, 0] e [1, +∞).

Para z = 0, hai un punto singular que se inclúe nun dos cortes de rama.

Representación gráfica

Na seguinte representación gráfica dos valores principais das funcións hiperbólicas inversas, os cortes de rama aparecen como descontinuidades da cor. O feito de que os cortes de rama completos aparezan como discontinuidades, mostra que estes valores principais poden non estenderse a funcións analíticas definidas en dominios máis grandes. Noutras palabras, os corte de rama definidos anteriormente son mínimos.

Funcións hiperbólicas inversas no plano z complexo: a cor en cada punto do plano representa o valor complexo da función respectiva nese punto.

Véxase tamén

Bibliografía

• Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, page 207, Academic Press.

Outros artigos

• Logaritmo complexo
• Función hiperbólica

Ligazóns externas

• "Inverse hyperbolic functions". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].