Función suave

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Número suave.

En análise matemática, a suavidade dunha función é unha propiedade medida polo número de derivadas continuas (clase de diferenciabilidade) que ten sobre o seu dominio.^[1]

Unha función de clase $C^{k}$ é unha función con suavidade de polo menos $k$ ; é dicir, unha función de clase $C^{k}$ é unha función que ten unha $k$ -ésima derivada que é continua no seu dominio.

Unha función de clase $C^{\infty }$ ou función $C^{\infty }$ (pronunciada función C-infinito) é unha función infinitamente diferenciábel, é dicir, unha función que ten derivadas de todas as ordes (isto implica que todas estas derivadas son continuas).

Xeralmente, o termo función suave refírese a unha función $C^{\infty }$ . No entanto, tamén pode significar "suficientemente diferenciábel" para o problema baixo consideración.

Clases de diferenciabilidade

A clase de diferenciabilidade é unha clasificación de funcións segundo as propiedades das súas derivadas. É unha medida da orde máis alta de derivada que existe e é continua para unha función.

Consideremos un conxunto aberto $U$ na recta real e unha función $f$ definida en $U$ con valores reais. Sexa k un enteiro non negativo. A función $f$ dise que é de clase de diferenciabilidade $C^{k}$ se as derivadas $f',f'',\dots ,f^{(k)}$ existen e son continuas en $U.$ Se $f$ é $k$ -diferenciábel en $U,$ entón está polo menos na clase $C^{k-1}$ xa que $f',f'',\dots ,f^{(k-1)}$ son continuas en $U.$ A función $f$ dise que é infinitamente diferenciábel, suave, ou de clase $C^{\infty },$ se ten derivadas de todas as ordes en $U.$ (Así, todas estas derivadas son funcións continuas sobre $U.$ )^[2] A función $f$ dise que é de clase $C^{\omega },$ ou analítica, se $f$ é suave (é dicir, $f$ está na clase $C^{\infty }$ ) e a súa expansión en serie de Taylor arredor de calquera punto do seu dominio converxe á función nalgunha veciñanza do punto. Existen funcións que son suaves pero non analíticas; $C^{\omega }$ está estritamente contido en $C^{\infty }.$ As funcións croque son exemplos de funcións con esta propiedade.

Exemplos

Exemplo: continua (C⁰) mais non diferenciábel

A función $g$ ( $x$ ) = $x$ ² sin(1/ $x$ ) para $x$ > 0.

A función $f(x)={\begin{cases}x&{\mbox{se }}x\geq 0,\\0&{\text{se }}x<0\end{cases}}$ é continua, pero non diferenciábel en $x$ = 0, polo que é de clase C⁰, pero non de clase C¹.

Exemplo: finitamente diferenciábel (C^$k$)

Para cada enteiro par $k$ , a función $f(x)=|x|^{k+1}$ é continua e $k$ veces diferenciábel en todos os $x$ . En $x$ = 0, non obstante, $f$ non é ( $k$ + 1) veces diferenciábel, polo que $f$ é de clase C^$k$, mais non de clase C^$j$ onde $j$ > $k$ .

Exemplo: diferenciábel mais non continuamente diferenciábel (non C¹)

A función $g(x)={\begin{cases}x^{2}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x\neq 0,\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}$ é diferenciábel, con derivada $g'(x)={\begin{cases}-{\mathord {\cos \left({\tfrac {1}{x}}\right)}}+2x\sin \left({\tfrac {1}{x}}\right)&{\text{se }}x\neq 0,\\0&{\text{se }}x=0.\end{cases}}$

Como $\cos(1/x)$ oscila cando $x$ → 0, $g'(x)$ non é continua en cero. Polo tanto, $g(x)$ é diferenciábel mais non de clase C¹.

Exemplo: diferenciábel mais non Lipschitz continua

A función $h(x)={\begin{cases}x^{4/3}\sin {\left({\tfrac {1}{x}}\right)}&{\text{se }}x\neq 0,\\0&{\text{se }}x=0\end{cases}}$ é diferenciábel pero a súa derivada non está limitada nun conxunto compacto. Polo tanto, $h$ é un exemplo dunha función que é diferenciábel mais non localmente Lipschitz continua.

Exemplo: analítica (C^$ω$)

A función exponencial $e^{x}$ é analítica, e polo tanto cae na clase C^ω (onde ω é o menor ordinal transfinito). As funcións trigonométricas tamén son analíticas onde estean definidas, xa que son combinacións lineares de funcións exponenciais complexas $e^{ix}$ e $e^{-ix}$ .

Exemplo: suave (C^$\infty$) mais non analítica (C^$ω$)

A función croque $f(x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-x^{2}}}}&{\text{ se }}|x|<1,\\0&{\text{ en caso contrario }}\end{cases}}$ é suave, polo que é de clase C^∞, pero non é analítica en $x$ = ±1, e polo tanto non é de clase C^ω. A función $f$ é un exemplo dunha función suave con soporte compacto.

Clases de diferenciabilidade multivariábel

Unha función $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ definida nun conxunto aberto $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$ dise^[3] que é de clase $C^{k}$ en $U$ , para un enteiro positivo $k$ , se todas as derivadas parciais ${\frac {\partial ^{\alpha }f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\,\partial x_{2}^{\alpha _{2}}\,\cdots \,\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})$ existen e son continuas, para cada $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ enteiros non negativos, tal que $\alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}\leq k$ , e cada $(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})\in U$ . Equivalentemente, $f$ é de clase $C^{k}$ en $U$ se a derivada de Fréchet de orde $k$ de $f$ existe e é continua en cada punto de $U$ . A función $f$ dise que é de clase $C$ ou $C^{0}$ se é continua en $U$ . As funcións de clase $C^{1}$ tamén se din continuamente diferenciábeis.

Unha función $f:U\subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ , definida nun conxunto aberto $U$ de $\mathbb {R} ^{n}$ , dise que é de clase $C^{k}$ en $U$ , para un enteiro positivo $k$ , se todas as súas compoñentes $f_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=(\pi _{i}\circ f)(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=\pi _{i}(f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})){\text{ para }}i=1,2,3,\ldots ,m$ son de clase $C^{k}$ , onde $\pi _{i}$ son as proxeccións naturais $\pi _{i}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R}$ definidas por $\pi _{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m})=x_{i}$ . Dise que é de clase $C$ ou $C^{0}$ se é continua, ou equivalentemente, se todas as compoñentes $f_{i}$ son continuas, en $U$ .

O espazo das funcións C^k

Sexa $D$ un subconxunto aberto da recta real. O conxunto de todas as funcións reais de clase $C^{k}$ definidas en $D$ é un espazo vectorial de Fréchet, coa familia contábel de seminormas $p_{K,m}=\sup _{x\in K}\left|f^{(m)}(x)\right|$ onde $K$ varía sobre unha secuencia crecente de conxuntos compactos cuxa unión é $D$ , e $m=0,1,\dots ,k$ .

O conxunto das funcións $C^{\infty }$ sobre $D$ tamén forma un espazo de Fréchet. Úsanse as mesmas seminormas que antes, excepto que $m$ pode variar sobre todos os valores enteiros non negativos.

Os espazos anteriores ocorren naturalmente en aplicacións onde se requiren funcións con derivadas de certas ordes; no entanto, especialmente no estudo de ecuacións diferenciais parciais, ás veces pode ser máis produtivo traballar con espazos de Sobolev.

Notas

↑ Weisstein, Eric W. "Smooth Function". mathworld.wolfram.com (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 2019-12-16. Consultado o 2019-12-13.
↑ Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer. p. 5 [Definition 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Consultado o 2014-11-28.
↑ Henri Cartan (1977). Cours de calcul différentiel. Paris: Hermann.

Véxase tamén

Outros artigos

Descontinuidade
Lemma de Hadamard}
Function cuasi analítica
Singularidade matemática
Número suave – número do que os seus factores primos están por debaixo dun primo p dado
Mapa de Sobolev

[1] Weisstein, Eric W. "Smooth Function". mathworld.wolfram.com (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 2019-12-16. Consultado o 2019-12-13.

[def_diff-2] Warner, Frank W. (1983). Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer. p. 5 [Definition 1.2]. ISBN 978-0-387-90894-6. Consultado o 2014-11-28.

[3] Henri Cartan (1977). Cours de calcul différentiel. Paris: Hermann.

[1]

[2]

[3]

Clases de diferenciabilidade

Exemplos

Exemplo: continua (C0) mais non diferenciábel

Exemplo: finitamente diferenciábel (Ck)

Exemplo: diferenciábel mais non continuamente diferenciábel (non C1)