Función lipschitziana

En matemáticas, unha función $f:M\longrightarrow N$ entre espazos métricos $(M,d_{M})$ e $(N,d_{N})$ dise que é lipschitziana, que satisfai a condición de Lipschitz ou que é Lipschitz continua, se existe unha constante $K\geq 0$ tal que:^[1]

$d_{N}(f(x),f(y))\leq Kd_{M}(x,y),\ \forall x,y\in M$

En tal caso, K é coñecida como a constante de Lipschitz da función $f$ . O nome provén do matemático alemán Rudolf Lipschitz. Para funcións definidas sobre espazos euclídeos a relación anterior pode escribirse:

$\|f(x)-f(y)\|\leq K\|x-y\|,\forall x,y\in \mathbb {R} ^{n},f:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}$

Interpretación xeométrica

Para funcións reais $f:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$ , a condición de Lipschitz posúe unha interpretación visual moi sinxela. A función $f$ será lipschitziana en caso de que $|f(x)-f(x_{0})|\leq K\|x_{0}-x\|$ , o cal equivale, debido á desigualdade triangular a que $f(x_{0})-K\|x-x_{0}\|\leq f(x)\leq f(x_{0})+K\|x-x_{0}\|$ . Véxase que $f(x_{0})\pm K\|x_{0}-x\|$ é un cono de pendente $K$ centrado no punto $x_{0}$ desprazado unha altura $f(x_{0})$ . Como a desigualdade para $x_{0},x\in \mathbb {R} ^{n}$ arbitrarios, podemos entender a condición de Lipschitz como segue. "Existe unha constante $K\geq 0$ tal que dado un punto $x_{0}$ calquera, independentemente de onde nos atopemos en $x$ , a gráfica da función sempre estará encerrada pola do cono". É importante apreciar que a constante $K$ non depende do punto $x_{0}$ , polo que a pendente do cono ten que ser hábilmente escollida.

Na condición de lipschitzianidade local a característica xeométrica acontece de xeito local, non global, polo que neste caso a constante $K$ si depende do punto $x_{0}$ escollido, sendo máis oportuna, polo xeral, a notación $K_{x_{0}}$ para remarcar esta dependencia.

Características e resultados principais

Toda función Lipschitz continua é uniformemente continua e polo tanto continua.

As funcións Lipschitz continuas con constante de Lipschitz igual 1, é dicir, $K$ = 1, son chamadas funcións curtas, e contractivas en caso de que K < 1. Estas últimas son as que verifican as hipóteses do teorema do punto fixo de Banach.
A condición de Lipschitz é unha hipótese clave para demostrar a existencia e unicidade de solucións para as ecuacións diferenciais ordinarias. A condición de continuidade da función, por si soa, asegura a existencia de solucións (Teorema de Peano), mais a unicidade require da condición de Lipschitz local(véxase máis abaixo ou na páxina: Teorema de Picard-Lindelöf).^[2]

Se $U$ é un subconxunto do espazo métrico $M$ e $f:U\longrightarrow \mathbb {R}$ é unha función Lipschitz continua, entón sempre existe unha función Lipschitz continua $g:M\longrightarrow \mathbb {R}$ que estende $f$ e ten a mesma constante Lipschitz que a función devandita.(Ver tamén teorema de Kirszbraun).

Unha función Lipschitz continua $f:I\longrightarrow \mathbb {R}$ , onde $I$ é un intervalo real, é diferenciable case en todas partes (é dicir, salvo nun conxunto de medida de Lebesgue cero). Alén, se $K$ é a constante Lipschitz da función, entón $|f'(x)|\leq K$ , supoñendo que a derivada exista no punto $x\in I$ . Recíprocamente, se $f:I\longrightarrow \mathbb {R}$ é unha función diferenciable, cuxa derivada está acoutada: $|f'(x)|\leq L$ para todo $x\in I$ , entón $f$ é Lipschitz continua con constante de Lipschitz $K$ , tal que $L\geq K$ , como consecuencia do teorema do valor medio.

Definicións vencelladas

As seguintes definicións son amplamente empregadas no eido das ecuacións diferencias, sobre todo nos resultados que gardan relación coa unicidade de solucións, como pode ser o caso do teorema de Picard-Lindelöf.

Función localmente Lipschitz: dados $M$ e $N$ , espazos métricos, dise que unha función $f:M\longrightarrow N$ é localmente lipschitziana se para todo $a\in M$ , existe unha veciñanza $U_{a}$ na que dados $x,y\in U_{a}$ arbitrarios, satisfaise: $d_{N}(f(x),f(y))\leq K_{U_{a}}d_{M}(x,y)$
Función lipschtziana respecto dunha variable: Dados $M,N,L$ espazos métricos, dise que unha función $f:(t,x)\in M\times N\longmapsto f(t,x)\in L$ , é localmente Lipschitz respecto de $x$ se verifica que dados $(t,x),(t,y)\in M\times N$ arbitrarios, entón $d_{L}(f(t,x),f(t,y))\leq Kd_{M\times N}((t,x),(t,y))$ . É importante apreciar que para a definición dada, a variable $t$ queda fixada. Asemade, a interpretación xeométrica mencionada anteriormente queda restrinxida aos eixos da variable $x\in N$ .