Figura inscrita

Un triángulo inscrito nunha circunferencia

Un tetraedro (vermello) inscrito nun cubo (amarelo) que, á súa vez, está inscrito nun triacontaedro rómbico (gris). .
(Prema aquí para ver o modelo rotar)

En xeometría, unha forma plana ou sólida inscrita é aquela que está encerrada e "encaixa perfectamente" dentro doutra forma ou sólido xeométrico.^[1] Dicir que "a figura F está inscrita na figura G" significa precisamente o mesmo que "a figura G está circunscrita á figura F". Unha circunferencia ou elipse inscrita nun polígono convexo (ou unha esfera ou elipsoide inscrita nun poliedro convexo) é tanxente a todos os lados ou caras da figura exterior (vexa Esfera inscrita para as variantes). Un polígono inscrito nunha circunferencia, elipse ou polígono (ou un poliedro inscrito nunha esfera, elipsoide ou poliedro) ten cada vértice na figura exterior; se a figura exterior é un polígono ou poliedro, debe haber un vértice do polígono ou poliedro inscrito a cada lado da figura exterior. Unha figura inscrita non é necesariamente única en orientación; isto pódese ver facilmente, por exemplo, cando a figura exterior dada é unha circunferencia, nese caso unha rotación dunha figura inscrita dá outra figura inscrita que é congruente coa orixinal.

Exemplos coñecidos de figuras inscritas inclúen circunferencias inscritas en triángulos ou polígonos regulares e triángulos ou polígonos regulares inscritos en circunferencias . Para unha circunferencia inscrita en calquera polígono dise que o polígono é un polígono tanxencial. Un polígono inscrito nunha circunferencia dise que é un polígono cíclico, e que a circunferencia é a súa circunferencia circunscrita.

O raio interior dunha determinada figura exterior é o raio da circunferencia ou esfera inscrita, se existe.

A definición dada anteriormente asume que os obxectos en cuestión están embebidos nun espazo euclidiano bidimensional ou tridimensional, pero pódese xeneralizar facilmente a dimensións máis altas e outros espazos métricos.

Propiedades

Toda circunferencia ten inscrito un triángulo con tres medidas angulares dadas (sumando por suposto 180°), e cada triángulo pode estar inscrito nalgunha circunferencia.
Todo triángulo ten inscrito unha circunferencia , chamado circunferencia inscrita.
Toda circunferencia ten inscrito un polígono regular de n lados, para calquera n ≥ 3, e todo polígono regular pode estar inscrito nalgunha circunferencia.
Todo polígono regular ten unha circunferencia inscrita e toda circunferencia pode estar inscrito nalgún polígono regular de n lados, para calquera n ≥ 3.
Non todos os polígonos con máis de tres lados teñen unha circunferencia inscrita; os polígonos que o fan chámanse polígonos tanxenciais. Non todo polígono con máis de tres lados é un polígono inscrito dunha circunferencia; aqueles polígonos que están así inscritos chámanse polígonos cíclicos.
Todo triángulo pode estar inscrito nunha elipse, chamada circunelipse de Steiner ou simplemente elipse de Steiner, cuxo centro é o centroide do triángulo.
Todo triángulo ten unha infinidade de elipses inscritas. Unha delas é unha circunferencia, e unha delas é a inelipse de Steiner que é tanxente ao triángulo nos puntos medios dos lados.
Cada triángulo agudo ten tres cadrados inscritos. Nun triángulo rectángulo dous deles están fusionados e coinciden entre si, polo que só hai dous cadrados inscritos distintos. Un triángulo obtuso ten un só cadrado inscrito, cun lado que coincide coa parte do lado máis longo do triángulo.
Un triángulo de Reuleaux, ou máis xeralmente calquera curva de ancho constante, pódese inscribir con calquera orientación dentro dun cadrado do tamaño adecuado.