Fibra (matemáticas)

En matemáticas, a fibra dun elemento baixo unha función f é a imaxe recíproca do conxunto unitario { y }, é dicir:

f^{-1}(y)=\{x\mathrel {:} f(x)=y\}

.

Propiedades e aplicacións

Na teoría elemental de conxuntos

Se X e Y son o dominio e a imaxe de f, respectivamente, entón as fibras de f son os conxuntos

f^{-1}(y)\mathrel {:} =\{x\in X\mathrel {:} f(x)=y\},\quad y\in Y,

que forman unha partición do conxunto X. Obsérvese que y debe restrinxirse á imaxe de f, pois en caso contrario $f^{-1}(y)$ sería o conxunto baleiro, que non se permite nunha partición. A fibra que contén un elemento $x\in X$ é o conxunto $f^{-1}(f(x))$ .

Exemplos

Por exemplo, sexa f a función de $\mathbb {R} ^{2}$ en $\mathbb {R}$ que envía o punto (a,b) en a+b. A fibra de 5 baixo f é o conxunto dos puntos na recta de ecuación a+b=5. As fibras de f son esa recta e todas as rectas paralelas a ela, que forman unha partición do plano $\mathbb {R} ^{2}$ .

Máis xeralmente, se f é unha aplicación linear dun espazo vectorial X a outro espazo Y, as fibras de f son subespazos afíns de X, é dicir, copias trasladadas do espazo nulo de f.

Se f é unha función real de varias variables reais, as fibras son os conxuntos de nivel de f. Se f é ademais continua e $y\in \mathbb {R}$ pertence á imaxe de f, o conxunto de nivel $f^{-1}(y)$ será tipicamente unha curva en 2D, unha superficie en 3D, e máis xeralmente unha hipersuperficie no dominio de f.

As fibras de f son as clases de equivalencia da relación de equivalencia $\equiv _{f}$ definida en X tal que $x'\equiv _{f}x''$ se e só se $f(x')=f(x'').$

En topoloxía

Na topoloxía conxuntista, adoitan considerarse funcións entre espazos topolóxicos.

Se f é unha función continua e se Y (ou máis xeralmente a imaxe f(X)) é un espazo T1, entón cada fibra é un subconxunto pechado de X. En particular, se f é un homeomorfismo local de X en Y, cada fibra de f é un subespazo discreto de X.

Unha función entre espazos topolóxicos chámase monótona se cada fibra é un subespazo conexo do seu dominio. Unha función $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ é monótona neste sentido topolóxico se e só se é non decrecente ou non crecente, que é o significado habitual de "función monótona" na análise real.

Unha función entre espazos topolóxicos chámase unha aplicación propia se cada fibra é un subespazo compacto. Porén, moitos autores usan definicións diferentes e non equivalentes de "aplicación propia", polo que convén comprobar sempre o sentido preciso en cada caso. Unha función continua pechada e sobrexectiva cuxas fibras son todas compactas chámase unha aplicación perfecta.

Un feixe principal ou fibrado é unha función f entre espazos topolóxicos X e Y cuxas fibras posúan certas propiedades especiais relacionadas coa topoloxía destes espazos.

En xeometría alxébrica

En xeometría alxébrica, se $f:X\to Y$ é un morfismo de esquemas, a fibra dun punto p en Y é o produto fibrado de esquemas $X\times _{Y}\operatorname {Spec} k(p)$ onde k(p) é o corpo residual en p.

Véxase tamén

Bibliografía

Lee, John M. (2011). Introduction to Topological Manifolds (en inglés) (2ª ed.). Springer Verlag. ISBN 978-1-4419-7940-7.

Outros artigos