Fórmulas de Viète

François Viète

En matemáticas, as fórmulas de Viète (frecuentemente escrito Vieta) relacionan os coeficientes dun polinomio coas sumas e produtos das súas raíces. Levan o nome de François Viète.

Fórmulas básicas

Calquera polinomio xeral de grao n :$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$ (sendo os coeficientes números reais ou complexos e a_n ≠ 0) ten n raíces complexas (non necesariamente distintas) r₁, r₂, ..., r_n polo teorema fundamental da álxebra. As fórmulas de Viète relacionan os coeficientes polinómicos con sumas con signo de produtos das raíces r₁, r₂, ..., r_n do seguinte xeito:

${\begin{cases}r_{1}+r_{2}+\dots +r_{n-1}+r_{n}=-{\dfrac {a_{n-1}}{a_{n}}}\\[1ex](r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+\cdots +r_{1}r_{n})+(r_{2}r_{3}+r_{2}r_{4}+\cdots +r_{2}r_{n})+\cdots +r_{n-1}r_{n}={\dfrac {a_{n-2}}{a_{n}}}\\[1ex]{}\quad \vdots \\[1ex]r_{1}r_{2}\cdots r_{n}=(-1)^{n}{\dfrac {a_{0}}{a_{n}}}.\end{cases}}$

 

 

 

 

(*)

As fórmulas de Viète pódense escribir equivalentemente como

$\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}\left(\prod _{j=1}^{k}r_{i_{j}}\right)=(-1)^{k}{\frac {a_{n-k}}{a_{n}}}$ para k = 1, 2, ..., n

(os índices i_k ordénanse en orde crecente para garantir que cada produto de k raíces se use exactamente unha vez).

Os lados esquerdos das fórmulas de Viète son os polinomios simétricos elementais das raíces.

O sistema de Viète (*) pódese resolver polo método de Newton mediante unha fórmula explícita iterativa sinxela, o método Durand-Kerner.

Xeneralización a aneis

As fórmulas de Viète úsanse con frecuencia con polinomios con coeficientes en calquera dominio integridade R. Daquela, os cocientes $a_{i}/a_{n}$ pertencen ao corpo de fraccións de R (e posibelmente estean no propio R se $a_{n}$ é invertíbel en R) e as raíces $r_{i}$ tómanse nunha extensión alxebricamente pechada. Normalmente, R é o anel dos enteiros, o corpo das fraccións é o corpo dos números racionais e o corpo alxebricamente pechado é o dos números complexos.

As fórmulas de Viète son entón útiles porque proporcionan relacións entre as raíces sen ter que calculalas.

Para polinomios sobre un anel conmutativo que non é un dominio de integridade, as fórmulas de Viète só son válidas cando $a_{n}$ non é un divisor de cero e $P(x)$ factores como $a_{n}(x-r_{1})(x-r_{2})\dots (x-r_{n})$.

Por exemplo, no anel dos enteiros módulo 8, o polinomio cadrático $P(x)=x^{2}-1$ ten catro raíces: 1, 3, 5 e 7. As fórmulas de Viète non son certas se, por exemplo, $r_{1}=1$ e $r_{2}=3$, porque $P(x)\neq (x-1)(x-3)$. No entanto, $P(x)$ factoriza tamén como $(x-1)(x-7)$ e tamén como $(x-3)(x-5)$, e as fórmulas de Vieta cúmprense se estabelecemos calquera das dúas $r_{1}=1$ e $r_{2}=7$ ou $r_{1}=3$ e $r_{2}=5$.

Exemplo

As fórmulas de Viète aplicadas a polinomios cadráticos e cúbicos:

As raíces $r_{1},r_{2}$ do polinomio cadrático $P(x)=ax^{2}+bx+c$ satisfán

$r_{1}+r_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}={\frac {c}{a}}.$

A primeira destas ecuacións pódese usar para atopar o mínimo (ou máximo) de P.

As raíces $r_{1},r_{2},r_{3}$ do polinomio cúbico $P(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ satisfán

$r_{1}+r_{2}+r_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad r_{1}r_{2}+r_{1}r_{3}+r_{2}r_{3}={\frac {c}{a}},\quad r_{1}r_{2}r_{3}=-{\frac {d}{a}}.$

Véxase tamén

Bibliografía

• Funkhouser, H. Gray (1930). "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations". American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365. JSTOR 2299273. doi:10.2307/2299273. 

Outros artigos

• Identidades de Newton
• Teorema de Gauss-Lucas
• Teorema das raíces racionais
• Polinomio simétrico e Polinomio simétrico elemental

Ligazóns externas

• "Viète theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].