Extensión de corpo

En matemáticas, particularmente en álxebra, unha extensión de corpo consiste nun par de corpos $K\subseteq L$ , tal que as operacións de K son as de L restrinxidas a K. Neste caso, L é un corpo de extensión de K e K é un subcorpo de L.^[1]^[2]^[3] Por exemplo, baixo as nocións habituais de suma e multiplicación, os números complexos son un corpo de extensión dos números reais; os números reais son un subcorpo dos números complexos.

As extensións de corpo son fundamentais na teoría alxébrica de números, e no estudo das raíces polinómicas a través da teoría de Galois, e son moi utilizadas na xeometría alxébrica.

Subcorpo

Un subcorpo $K$ dun corpo $L$ é un subconxunto $K\subseteq L$ que é un corpo en relación ás operacións de corpo herdadas de $L$ . De forma equivalente, un subcorpo é un subconxunto que contén a identidade multiplicativa $1$ , e está pechado nas operacións de suma, resta, multiplicación e tomando a inversa dun elemento distinto de cero de $K$ .

Por exemplo, o corpo dos números racionais é un subcorpo dos números reais, que é un subcorpo dos números complexos. De forma máis xeral, o corpo dos números racionais é (ou é isomorfo a) un subcorpo de calquera corpo de características $0$ .

A característica dun subcorpo é a mesma que a característica do corpo maior.

Corpo de extensión

Se $K$ é un subcorpo de $L$ , entón $L$ é un corpo de extensión ou simplemente é unha extensión de $K$ , e este par de corpos forman unha extensión de corpo. Tal extensión de corpo denotase $L/K$ (léase como " $L$ sobre $K$ ")^[4].

Se $L$ é unha extensión de $F$ , que á súa vez é unha extensión de $K$ , entón $F$ dise que é un corpo intermedio (ou extensión ou subextensión intermedia) de $L/K$ .

Dada unha extensión de corpo $L/K$ , o corpo máis grande $L$ é un $K$ -espazo vectorial. A dimensión deste espazo vectorial chámase grao da extensión e denótase por $[L:K]$ .

O grao dunha extensión é 1 se e só se os dous corpos son iguais. Neste caso, a extensión é a extensión trivial. As extensións de grao 2 e 3 chámanse extensións cadráticas e extensións cúbicas, respectivamente. Unha extensión finita é unha extensión que ten un grao finito.

Dadas dúas extensións $L/K$ e $M/L$ , a extensión $M/K$ é finita se e só se ambas $L/K$ e $M/L$ son finitas. Neste caso, temos

[M:K]=[M:L]\cdot [L:K].

Na característica 0, toda extensión finita é unha extensión simple (dun único elemento). Este é o teorema do elemento primitivo, que non é certo para corpos de característica distinta de cero.

Se unha extensión simple $K(s)/K$ non é finita, o corpo $K(s)$ é isomorfo ao corpo das fraccións racionais en $s$ sobre $K$ .

Advertencias

A notación L / K é puramente formal e non implica a formación dun anel cociente ou grupo cociente nin ningún outro tipo de división. Pola contra, a barra expresa a palabra "sobre". Nalgunha literatura úsase a notación L : K.

Exemplos

O corpo dos números complexos $\mathbb {C}$ é un corpo de extensión do corpo dos números reais $\mathbb {R}$ , e $\mathbb {R}$ á súa vez é un corpo de extensión do corpo dos números racionais $\mathbb {Q}$ . Claramente entón, $\mathbb {C} /\mathbb {Q}$ é tamén unha extensión de corpo. Temos $[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2$ porque $\{1,i\}$ é unha base, polo que a extensión $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ é finita. Esta é unha extensión simple porque $\mathbb {C} =\mathbb {R} (i).$ $[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}$ (a cardinalidade do continuo), polo que esta extensión é infinita.

O corpo

\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},

é un corpo de extensión de $\mathbb {Q} ,$ tamén claramente unha extensión simple. O grao é 2 porque $\left\{1,{\sqrt {2}}\right\}$ pode servir de base.

O corpo

{\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}

é un corpo de extensión de $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ e tamén de $\mathbb {Q} ,$ de grao 2 e 4 respectivamente. Tamén é unha extensión simple, como se pode demostrar

{\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}

As extensións finitas de $\mathbb {Q}$ tamén se denominan corpos numéricos alxébricos e son importantes na teoría dos números. Outro corpo de extensión dos racionais, que tamén é importante na teoría de números, aínda que non é unha extensión finita, é o corpo dos números p-ádicos $\mathbb {Q} _{p}$ para un número primo p.

É común construír un corpo de extensión dun corpo dado K como un anel cociente do anel polinómico K [X] para "crear" unha raíz para un polinomio dado f(X). Supoña, por exemplo, que K non contén ningún elemento x con x ² = −1. Logo o polinomio $X^{2}+1$ é irredutíbel en K[X], polo que o ideal xerado por este polinomio é máximal, e $L=K[X]/(X^{2}+1)$ é un corpo de extensión de K que contén un elemento cuxo cadrado é −1 (é dicir, a clase de residuos de X).

Ao iterar a construción anterior, pódese construír un corpo de descomposición de calquera polinomio a partir de K[X]. Este é un corpo de extensión L de K no que o polinomio dado se descompón nun produto de factores lineares.

Se p é calquera número primo e n é un enteiro positivo, hai un corpo finito único (ata isomorfismo). $GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}$ con p ⁿ elementos; este é un corpo de extensión do corpo primo $\operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ con p elementos.

Dado un corpo K, podemos considerar o corpo K(X) de todas as funcións racionais da variábel X con coeficientes en K; con esta consideración os elementos de K(X) son fraccións de dous polinomios sobre K, e de feito K(X) é o corpo de fraccións do anel polinómico K[X]. Este corpo de funcións racionais é un corpo de extensión de K. Esta extensión é infinita.

Dada unha superficie de Riemann M, o conxunto de todas as funcións meromórficas definidas en M é un corpo, denotado por $\mathbb {C} (M).$ É un corpo de extensión transcendental de $\mathbb {C}$ se identificamos cada número complexo coa función constante correspondente definida en M. Máis xeralmente, dada unha variedade alxébrica V sobre algún corpo K, o corpo de funcións K(V), que consiste nas funcións racionais definidas en V, é un corpo de extensión de K.

Extensión alxébrica

Un elemento x dunha extensión de corpo $L/K$ é alxébrica sobre K se é unha raíz dun polinomio distinto de cero con coeficientes en K. Por exemplo, ${\sqrt {2}}$ é alxébrica sobre os números racionais, porque é unha raíz de $x^{2}-2.$ Se un elemento x de L é alxébrico sobre K, o polinomio mónico de menor grao que ten x como raíz chámase polinomio mínimo de x. Este polinomio mínimo é irredutíbel sobre K.

O conxunto dos elementos de L que son alxébricos sobre K forman unha subextensión, que se denomina peche alxébrico de K en L.

Unha extensión alxébrica $L/K$ é unha extensión tal que todo elemento de L é alxébrico sobre K. De forma equivalente, unha extensión alxébrica é unha extensión que é xerada por elementos alxébricos. Por exemplo, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})$ é unha extensión alxébrica de $\mathbb {Q}$ , porque ${\sqrt {2}}$ e ${\sqrt {3}}$ son alxébricas sobre $\mathbb {Q} .$

Unha extensión simple é alxébrica se e só se é finita. Isto implica que unha extensión é alxébrica se e só se é a unión das súas subextensións finitas, e que toda extensión finita é alxébrica.

Todo corpo K ten un peche alxébrico, que é ata un isomorfismo o corpo de extensión máis grande de K que é alxébrico sobre K, e tamén o corpo de extensión máis pequeno tal que todo polinomio con coeficientes en K ten unha raíz nel. Por exemplo, $\mathbb {C}$ é un peche alxébrico de $\mathbb {R}$ , pero non ´é un peche alxébrico de $\mathbb {Q}$ , xa que non é alxébrico sobre $\mathbb {Q}$ (por exemplo $π$ non é alxébrico sobre $\mathbb {Q}$ ).

Extensión transcendental

Dada unha extensión de corpo $L/K$ , un subconxunto S de L chámase alxebricamente independente sobre K se non existe unha relación polinómica non trivial con coeficientes en K entre os elementos de S. A maior cardinalidade dun conxunto alxebricamente independente chámase grao de transcendencia de L / K.

Sempre é posíbel atopar un conxunto S, alxebricamente independente sobre K, tal que L / K(S) sexa alxébrico. Tal conxunto S denomínase base de transcendencia de L / K.

Todas as bases de transcendencia teñen a mesma cardinalidade, igual ao grao de transcendencia da extensión. Unha extensión $L/K$ dise que é puramente transcendental se e só se existe unha base de transcendencia S de $L/K$ tal que L = K ( S ).

Tal extensión ten a propiedade de que todos os elementos de L agás os de K son transcendentais sobre K, mais, con todo, hai extensións con esta propiedade que non son puramente transcendentais: unha clase destas extensións toma a forma L / K onde tanto L como K están pechados alxebricamente.

Por exemplo, considere a extensión $\mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,$ onde $x$ é transcendental $\mathbb {Q} ,$ e $y$ é unha raíz da ecuación $y^{2}-x^{3}=0.$ Tal extensión pódese definir como $\mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,$ no que $x$ e $y$ son as clases de equivalencia de $X$ e $Y.$ Obviamente, o conxunto singleton $\{x\}$ é transcendental sobre $\mathbb {Q}$ e a extensión $\mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)$ é alxébrica; polo tanto $\{x\}$ é unha base de transcendencia que non xera a extensión $\mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)$ . Do mesmo xeito, $\{y\}$ é unha base de transcendencia que non xera toda a extensión. Porén a extensión é puramente transcendental xa que, se facemos $t=y/x,$ logo temos $x=t^{2}$ e $y=t^{3},$ e así $t$ xera toda a extensión.

Extensións normais, separábeis e de Galois

Unha extensión alxébrica $L/K$ chámase normal se todo polinomio irredutíbel en K[X] que ten unha raíz en L factoriza completamente en factores lineares sobre L. Toda extensión alxébrica F / K admite un peche normal L, que é un corpo de extensión de F tal que $L/K$ é normal e que é mínimo con esta propiedade.

Unha extensión alxébrica $L/K$ chámase separábel se o polinomio mínimo de todo elemento de L sobre K é separábel, é dicir, non ten raíces repetidas nun peche alxébrico sobre K. Unha extensión de Galois é unha extensión de corpo normal e separábel.

Unha consecuencia do teorema do elemento primitivo afirma que toda extensión finita separábel ten un elemento primitivo (é dicir, é simple).

Dada calquera extensión de corpo $L/K$ , podemos considerar o seu grupo de automorfismos ${\text{Aut}}(L/K)$ , consistente en tódolos automorfismos do corpo, α: L → L con α(x) = x para todo x en K. Cando a extensión é Galois, este grupo de automorfismo chámase grupo de Galois da extensión. As extensións cuxo grupo de Galois é abeliano chámanse extensións abelianas.

Para unha determinada extensión de corpo $L/K$ , adoitamos interesarnos polos corpos intermedios F (subcorpos de L que conteñen K). O significado das extensións de Galois e dos grupos de Galois é que permiten unha descrición completa dos corpos intermedios: hai unha bixección entre os corpos intermedios e os subgrupos do grupo de Galois, descrito polo teorema fundamental da teoría de Galois.

Notas

↑ Fraleigh (1976, p. 293)
↑ Herstein (1964, p. 167)
↑ McCoy (1968, p. 116)
↑ non confundir con grupo cociente que ten a mesma notación

Véxase tamén

Bibliografía

Fraleigh, John B. (1976). A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.). Reading: Addison-Wesley. ISBN 0-201-01984-1.
Herstein, I. N. (1964). Topics In Algebra. Waltham: Blaisdell Publishing Company. ISBN 978-1114541016.
Lang, Serge (2004). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4.
McCoy, Neal H. (1968). Introduction To Modern Algebra, Revised Edition. Boston: Allyn and Bacon. LCCN 68015225.

Outros artigos

Ligazóns externas

"Extension of a field". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].

[1] Fraleigh (1976, p. 293)

[2] Herstein (1964, p. 167)

[3] McCoy (1968, p. 116)

[4] undir con grupo cociente que ten a mesma notación

[1]

[2]

[3]

[4]