Extensión alxébrica

En matemáticas, unha extensión alxébrica é unha extensión de corpo $L / K$ tal que cada elemento do corpo maior $L$ é alxébrico sobre o corpo menor $K$ ; é dicir, todo elemento de $L$ é unha raíz dun polinomio distinto de cero con coeficientes en $K$ .

Unha extensión de corpo que non é alxébrica, dise que é transcendental e debe conter elementos transcendentais, é dicir, elementos que non son alxébricos.

As extensións alxébricas do corpo $\mathbb {Q}$ dos números racionais chámanse corpos numéricos alxébricos e son os principais obxectos de estudo da teoría alxébrica de números.

Outro exemplo dunha extensión alxébrica común é a extensión $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ dos números reais polos números complexos.

Algunhas propiedades

Todas as extensións transcendentais son de grao infinito. Isto á súa vez implica que todas as extensións finitas son alxébricas. No entanto, a inversa non é verdade: hai extensións infinitas que son alxébricas. Por exemplo, o corpo de todos os números alxébricos é unha extensión alxébrica infinita dos números racionais.

Sexa $E$ unha extensión dun corpo $K$ , e $a \in E$ . O subcorpo máis pequeno de $E$ que contén $K$ e $a$ é comunmente denotado $K(a).$ Se $a$ é alxébrico sobre $K$ , entón os elementos de $K (a)$ poden expresarse como polinomios en $a$ con coeficientes en K; é dicir, $K(a)=K[a]$ , o anel máis pequeno que contén $K$ e $a$ .

Neste caso, $K(a)$ é unha extensión finita de $K$ e todos os seus elementos son alxébricos sobre $K$ . En particular, $K(a)$ é un espazo vectorial $K$ con base $\{1,a,...,a^{d-1}\}$ , onde d é o grao do polinomio mínimo de $a$ .

Estas propiedades non se cumpren se $a$ non é alxébrico. Por exemplo, $\mathbb {Q} (\pi )\neq \mathbb {Q} [\pi ],$ e ambos son espazos vectoriais de dimensións infinitas sobre $\mathbb {Q} .$

Un corpo alxébrico pechado F non ten extensións alxébricas propias, é dicir, non hai ningunha extensión alxébrica E con F < E. Un exemplo é o corpo dos números complexos.

Todo corpo ten unha extensión alxébrica que está pechada alxébricamente (chamada pechamento alxébrico), pero probar isto en xeral require algunha forma do axioma de escolla.

Unha extensión L / K é alxébrica se e só se cada sub K-álxebra de L é un corpo.

Propiedades

Cúmprense as seguintes tres propiedades:

Se E é unha extensión alxébrica de F e F é unha extensión alxébrica de K, entón E é unha extensión alxébrica de K.
Se E e F son extensións alxébricas de K nun sobrecorpo común C, entón o composto EF é unha extensión alxébrica de K.
Se E é unha extensión alxébrica de F e E > K > F, entón E é unha extensión alxébrica de K.

Estes resultados finitos pódense xeneralizar usando a indución transfinita: unión de calquera cadea de extensións alxébricas sobre un corpo base é en si mesma unha extensión alxébrica sobre o mesmo corpo base. Este feito, xunto co lema de Zorn (aplicado a un conxunto parcialmene ordenado apropiado), estabelece a existencia de peches alxébricos.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Fraleigh, John B. (2014). A First Course in Abstract Algebra. Pearson. ISBN 978-1-292-02496-7.
Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004). Algebras, rings and modules 1. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.
Lang, Serge (1993). "V.1:Algebraic Extensions". Algebra (Third ed.). Reading, Mass.: Addison-Wesley. pp. 223ff. ISBN 978-0-201-55540-0. Zbl 0848.13001.
Malik, D. B.; Mordeson, John N.; Sen, M. K. (1997). Fundamentals of Abstract Algebra. McGraw-Hill. ISBN 0-07-040035-0.
McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976]. Algebraic extensions of fields. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-66651-4. Zbl 0768.12001.
Roman, Steven (1995). Field Theory. GTM 158. Springer-Verlag. ISBN 9780387944081.
Rotman, Joseph J. (2002). Advanced Modern Algebra. Prentice Hall. ISBN 9780130878687.

Outros artigos