Estimador

Estimador
Instancia de tipo de función matemática  Subclase de función estadístico  Estudado por estatística matemática econometría teoría da estimación
Códigos e identificadores Freebase /m/02qtl MathWorld Estimator OpenAlex C185429906
Fontes e ligazóns  Descrito pola fonte Enciclopedia soviética armenia, volume 3 pp. 137 ISO 3534-1:2006(en) Statistics — Vocabulary and symbols — Part 1: General statistical terms and terms used in probability (en)
Wikidata

En estatística, un estimador é unha regra ou función empregada para calcular unha estimación dun parámetro descoñecido dunha poboación a partir dunha mostra de datos observados. O parámetro que se pretende estimar denomínase ás veces estimando.

Por exemplo, a media aritmética dunha mostra é un estimador habitual da media da poboación.

Distínguense dous tipos principais de estimadores:

• estimadores puntuais, que producen un único valor.
• estimadores por intervalos, que producen un intervalo de valores plausibles para o parámetro.

O estudo das propiedades dos estimadores forma parte da teoría da estimación.

Definición

Considérese unha mostra aleatoria formada por variables aleatorias

$X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}.$

Un estimador dun parámetro $\theta$ é unha función das observacións da mostra, é dicir,

${\widehat {\theta }}=g(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}).$

Dado que depende das variables aleatorias da mostra, o estimador é tamén unha variable aleatoria. Un valor concreto obtido ao substituír os datos observados denomínase estimación.

Na notación estatística, o estimador represéntase habitualmente cun acento circunflexo sobre o parámetro:

${\widehat {\theta }}$.

Propiedades dun estimador

Para comparar distintos estimadores dun mesmo parámetro considéranse diversas propiedades estatísticas.

Nesgo

Artigo principal: Nesgo estatístico.

O nesgo dun estimador defínese como

$\operatorname {Bias} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} ({\widehat {\theta }})-\theta .$

Se o valor esperado do estimador coincide co parámetro verdadeiro, o estimador denomínase innesgado.

Por exemplo, se $X_{1},\dots ,X_{n}$ teñen media $\mu$, entón a media muestral

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

é un estimador innesgado de $\mu$ porque

$\operatorname {E} ({\bar {X}})=\mu .$

Varianza

A varianza dun estimador mide a dispersión das estimacións arredor do seu valor esperado:

$\operatorname {Var} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\operatorname {E} ({\widehat {\theta }}))^{2}].$

Un estimador con varianza menor considérase máis preciso.

Erro cuadrático medio

O erro cuadrático medio (mean squared error, MSE) defínese como

$\operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {E} [({\widehat {\theta }}-\theta )^{2}].$

Este valor pode descompoñerse en función do nesgo e da varianza:

$\operatorname {MSE} ({\widehat {\theta }})=\operatorname {Var} ({\widehat {\theta }})+(\operatorname {Bias} ({\widehat {\theta }}))^{2}.$

Consistencia

Artigo principal: Estimador consistente.

Un estimador é consistente se as súas estimacións converxen ao valor verdadeiro do parámetro cando o tamaño da mostra tende a infinito:

$\lim _{n\to \infty }P(|{\widehat {\theta }}_{n}-\theta |<\varepsilon )=1$

para todo $\varepsilon >0$.

Eficiencia

Artigo principal: Eficiencia (estatística).

Entre os estimadores innesgados dun mesmo parámetro prefírese aquel que ten menor varianza. O estimador innesgado con menor varianza denomínase

estimador innesgado de mínima varianza (MVUE).

A cota de Cramér–Rao proporciona un límite inferior para a varianza dos estimadores innesgados.

Normalidade asintótica

Artigo principal: Distribución asintótica.

Moitos estimadores presentan normalidade asintótica. Isto significa que

${\sqrt {n}}({\widehat {\theta }}_{n}-\theta )$

converxe en distribución cara a unha distribución normal cando o tamaño da mostra $n$ aumenta.

Esta propiedade permite construír intervalos de confianza aproximados.

Robustez

Artigo principal: Estimador robusto.

Un estimador denomínase robusto se os seus resultados non cambian de maneira significativa ante pequenas desviacións das hipóteses do modelo ou ante a presenza de valores atípicos.

Exemplos

Algúns estimadores comúns son:

• a media muestral como estimador da media da poboación;
• a varianza muestral como estimador da varianza da poboación;
• a proporción muestral como estimador da proporción nunha poboación binaria.

Se $X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$, entón a media muestral

${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}$

é un estimador innesgado de $\mu$ e ten varianza

$\operatorname {Var} ({\bar {X}})={\frac {\sigma ^{2}}{n}}.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Teoría da estimación
• Estimación puntual
• Intervalo de confianza
• Distribución muestral
• Nesgo estatístico
• Erro estándar
• Máxima verosimilitude

Bibliografía

• Lehmann, E. L.; Casella, G. (1998). Theory of Point Estimation. Springer. ISBN 0-387-98502-6. 
• Shao, Jun (1998). Mathematical Statistics. Springer. ISBN 0-387-98674-X.