Número cardinal

Os números cardinais indican a cantidade de elementos dun conxunto e reflíctense nos conceptos de números naturais e de números enteiros. Por exemplo, considerando o conxunto de extremidades do corpo humano e chamándolle a este conxunto E, E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda}, o cardinal do conxunto é 4. Pódese dicir, xa que logo, que:

• |E| = 4
• card(E) = 4
• #E = 4

4 é un número natural e un número enteiro positivo.

Concepción gramatical

Definición

O númeral cardinal é a categoría gramatical que indica o número de elementos dun conxunto. O numeral cardinal diferénciase do ordinal, do múltiplo e do partitivo.

Lista

Os principais numerais cardinais son: cero, un/unha, dous/dúas, tres, catro, cinco, seis, sete, oito, nove, dez, once, doce, trece, catorce, quince, dezaseis, dezasete, dezaoito, dezanove, vinte, vinte e un/unha, vinte e dous/dúas, trinta, trinta e un/unha, corenta, cincuenta, sesenta, setenta, oitenta, noventa, cen, cento un/unha, douscentos/duascentas, trescentos/as, catrocentos/as, cincocentos/as, quiñentos/as, seiscentos/as, setecentos/as, oitocentos/as, novecentos/as, mil.

Función sintáctica

O numeral cardinal adoita incluírse entre os determinantes. Pode ter función adxectiva ou pronominal:

• se acompaña a un nome (cinco libros)
• Función pronominal: suple (devolvín dúas).

Riscos morfolóxicos

En galego, o numeral cardinal tén marca de xénero en: un/unha, dous/dúas, os centos (trescentas) e os seus derivados. Exemplos:

• un boi, unha vaca;
• dous cuxos, dúas becerras;
• trescentos libros, trescentas follas;

Diferénciese "tres centos de libros" de "trescentos libros".

Substantivos equivalentes

Existen algúns substantivos que equivalen a certos números cardinais e que algúns autores denominan colectivos (Carballo Calero, 1979, p. 202 e Álvarez e Xove, 2002, p. 526):

• un ≡ unidade
• dous ≡ par, parella
• tres ≡ trío, terna
• dez ≡ decena
• doce ≡ ducia
• cen ≡ centena

Nalgúns casos, son períodos de tempo:

• cinco anos ≡ lustro
• dez anos ≡ década
• cen anos ≡ século

Noutros casos, poden ter significados connotativos, por exemplo, do campo da música:

• un músico ≡ solo (non confundir con "só")
• dous músicos ≡ dúo
• tres músicos ≡ trío
• catro músicos ≡ cuarteto

Tamén sucede o mesmo en poesía cos nomes de estrofas e noutros campos.

Concepción matemática

Historia

O concepto de número cardinal foi proposto por Georg Cantor en 1874. A partir do concepto de cardinalidade, chegamos ao cardinal. A cardinalidade é a característica que define o número de elementos dun conxunto. Os seguintes conxuntos son diferentes pero ten a mesma cardinalidade:

E = {brazo dereito, brazo esquerdo, perna dereita, perna esquerda} C = {norte, sur, leste, oeste}

Por tanto, |E| = |C|

Definindo unha correspondencia biunívoca entre dous conxuntos finitos, Cantor demostraba facilmente se tiñan a mesma cardinalidade cando había unha relación bixectiva entre os seus elementos. Esta correspondencia un a un tamén lle serviu para crear o concepto de conxunto infinito: todos os seus elementos están relacionados de forma bixectiva co conxunto de números naturais.

Cardinais para particionar e ordenar os conxuntos

Os conxuntos poden dividirse en clases de equivalencia definidas en función da relación de equivalencia que inclúa a un par de conxuntos se e só se entre estes existe unha bixección. A cardinalidade dun conxunto sería a clase de equivalencia á que este pertence. Dous conxuntos $A,B$ coa mesma cardinalidade (que pertencen ao mesmo cardinal) denótase:

$\left|A\right|=\left|B\right|{\text{ ,ou ben }}\#A=\#B$

A existencia dunha función inxectiva entre dous conxuntos tamén define unha relación de orde entre os seus cardinais; é dicir:

$\left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|\Leftrightarrow \exists f:A\rightarrow B{\text{, inxectiva}}$

A relación $<_{\#}$ exclúe a posibilidade de que os cardinais sexan iguais.
É posíbel demostrar que si

$\left|A\right|\leq _{\#}\left|B\right|$ e $\left|B\right|\leq _{\#}\left|A\right|$ isto implica que $\left|A\right|=\left|B\right|$

O cardinal do conxunto baleiro denótase convencionalmente como 0 (cero) e contén ao único conxunto baleiro. E o coxunto baleiro desígnase ∅.

Cardinais transfinitos

Os números cardinais dalgúns conxuntos represéntanse con símbolos especiais:

• O cardinal dos números reais: ${\mbox{card}}(\mathbb {R} )=c$;
• O cardinal dos números naturais: ${\mbox{card}}(\mathbb {N} )=\aleph _{0}$ (Alef-0).
• O cardinal inmediatamente superior a $\aleph _{0}$: $\aleph _{1}$

Usando os axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) pode comprobarse que os tres cardinais anteriores cumpren $\aleph _{0}<\aleph _{1}\leq c$. A hipótese do continuo afirma que de feito $c=\aleph _{1}$. Gödel probou en 1938 que esta hipótese é consistente cos axiomas ZF e, por tanto, pode ser tomado como un axioma novo para a teoría de conxuntos. Porén, en 1963, Paul Cohen probou que a negación da hipótese do continuo tamén é consistente cos axiomas ZF, o que proba que esta hipótese é totalmente independente dos axiomas ZF. É dicir, poden construírse tanto "teorías de conxuntos cantorianas" nas que a hipótese do continuo é unha afirmación certa coma "teorías de conxuntos non cantorianas" nas que a hipótese do continuo sexa falsa. Esta situación é similar á das xeometrías non euclídeas.

Véxase tamén

Outros artigos

• Número ordinal

Ligazóns externas

• Vocabulario Ortográfico da Lingua Galega
• Normas Ortográficas e Morfolóxicas do Idioma Galego

Bibliografía

• Álvarez, R. e Xove, X. (2002) Gramática da lingua galega. Vigo: Ed. Galaxia. Acceso en Google books.
• Carballo Calero, R. (1979) Gramática elemental del gallego común. Vigo: Ed. Galaxia. (en castelán) Acceso en Google Books