Espazo euclidiano

Representación gráfica de $\mathbb {R} ^{3}$.

O espazo euclidiano é un espazo xeométrico no que se satisfán os axiomas de Euclides da xeometría. A recta real, o plano euclidiano e o espazo tridimensional da xeometría euclidiana son casos especiais de espazos euclidiano de dimensións 1, 2 e 3 respectivamente. O concepto abstracto de espazo euclídeo xeneraliza esas construcións a máis dimensións. Un espazo euclidiano é un espazo vectorial completo dotado dun produto interno (o cal o converte ademais nun espazo normado, un espazo métrico e unha variedade riemanniana ao mesmo tempo).

O termo euclidiano emprégase para distinguir estes espazos dos espazos "curvos" das xeometrías non euclidianas e do espazo da teoría da relatividade de Einstein. Para destacar o fe${\displaystyle }$ito d${\displaystyle }$e que un espazo euclidiano pode posuír n dimensións, adóitase falar de "espazo euclidiano n-dimensional" (denotado $\scriptstyle \mathbb {E} ^{n},E^{n}$, ou mesmo $\scriptstyle \mathbb {R} ^{n}$).

Introdución

Un espazo euclidiano de dimensión finita é un espazo vectorial normado sobre os números reais de dimensión finita, no que a norma é a asociada ao produto escalar ordinario. Para cada número enteiro non negativo n, o espazo euclidiano n-dimensional represéntase polo símbolo $\mathbb {R} ^{n}$ e é o conxunto de todas as tuplas ordenadas

$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$

onde cada $x_{i}$ é un número real, xunto coa función distancia entre dous puntos (x₁, ..., x_n) e (y₁, ..., y_n) definida pola fórmula:

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$

Esta función distancia é unha xeneralización do teorema de Pitágoras e denomínase distancia euclidiana. O feito de que se definise unha distancia permite definir outros conceptos métricos como o de medida de Lebesgue (que permite á súa vez definir a lonxitude dunha curva (1-volume), as nocións de área (2-volume), volume (3-volume) e cando o espazo ten dimensión superior a 3 n-volume (para n > 3).

Ademais poden definirse ángulos, ao poder falar de proxectar unha lonxitude recta sobre a dirección doutra lonxitude recta non paralela, polo que o ángulo entre dúas rectas r₁ e r₂ con vectores unitarios tanxentes $\mathbf {n} _{1}$ e $\mathbf {n} _{2}$ se pode definir como:

$\theta =\arccos \left(\mathbf {n} _{1}\cdot \mathbf {n} _{2}\right)$

Estruturas sobre o espazo euclidiano

Os espazos euclidianos e as súas propiedades serviron de base para xerar gran cantidade de conceptos matemáticos relacionados coa xeometría analítica, a topoloxía, a álxebra e o cálculo. Aínda que o espazo euclidiano adoita ser introducido, por razóns didácticas, como espazo vectorial, en realidade sobre el pódense definir moitas máis estruturas. O espazo euclídeo é ademais dun espazo vectorial un caso de:

• Un espazo de Hilbert de dimensión finita, co produto escalar ordinario.
• Un espazo de Banach de dimensión finita, coa norma inducida polo produto escalar interior.
• Un espazo métrico completo, coa distancia inducida pola norma anterior.
• Un espazo topolóxico, inducido pola métrica euclídea.
• Un grupo de Lie, coa operación de adición.
• Unha álxebra de Lie co produto vectorial.

O espazo euclidiano como espazo métrico

Por definición, E ⁿ é un espazo métrico, e é polo tanto tamén un espazo topolóxico; é o exemplo prototípico dunha n-variedade, e é de feito unha n-variedade diferenciable. Para n ≠ 4, calquera n-variedade diferenciable que sexa homeomorfa a E ⁿ é tamén difeomorfa a ela. O feito sorprendente é que isto non é certo tamén para n = 4, o que foi probado por Simon Donaldson no ano 1982; os contraexemplos chámanse 4-espazos exóticos (ou falsos).

O espazo euclidiano como espazo topolóxico

Pódese dicir moito sobre a topoloxía de E ⁿ. Un resultado importante, a invariancia do dominio de Brouwer, é o de que calquera subconxunto de E ⁿ que sexa homeomorfo a un subconxunto aberto de E ⁿ é en si mesmo aberto. Como consecuencia inmediata disto tense que E m non é homeomorfo a E ⁿ se m ≠ n, un resultado intuitivamente "obvio" que con todo non é doado de demostrar.

O espazo euclidiano como espazo vectorial

O n-espazo euclidiano pódese considerar tamén como un espazo vectorial n-dimensional real, de feito un espazo de Hilbert, de maneira natural. O produto escalar, de x = (x₁,...,x_n) e y = (y₁,...,y_n) está dado por:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}$

Espazo euclidiano de dimensión infinita

Os espazos euclidianos considerados usualmente ten unha dimensión topolóxica finita. Iso fai que sexan localmente compactos. Con todo, é posíbel concibir estruturas de dimensión infinita que teñan propiedades análogas aos espazos euclidianos, polo que a extensión á dimensión infinita da noción de espazo euclidiano é posíbel cunhas poucas precaucións. En primeiro lugar pódese considerar o conxunto $\mathbb {R} ^{\omega }$ definido como:

$\mathbb {R} ^{\omega }=\{(x_{1},x_{2},\dots )|\forall i:x_{i}\in \mathbb {R} \}$

É dicir este conxunto é o produto cartesiano dun número infinito numerable de copias de $\mathbb {R}$. Con todo o conxunto de todas esas tuplas infinitas non ten a estrutura de espazo euclidiano porque non se pode dotar dunha norma euclidiana axeitada. Por exemplo as tuplas:

$\mathbf {x} =(1,1,1,\dots ),{\text{ ó }}\mathbf {y} =(1,2,3,4,\dots )$

non representan vectores cunha suma de compoñentes ao cadrado que sexa un número real finito. Por esta razón considérase o subconxunto:

$E_{\infty }=\{(x_{1},x_{2},\dots )|\forall i:x_{i}\in \mathbb {R} ,\ \lim _{N\to \infty }\sum _{n=1}^{N}|x_{n}|^{2}<\infty \}\varsubsetneq \mathbb {R} ^{\omega }$

Este espazo vectorial $E_{\infty }$ comparte a maior parte dos espazos euclidianos finitodimensionales e polo tanto pode considerarse un espazo euclidiano infinitodimensional; a principal propiedade é que o espazo euclidiano infinitodimensional a diferenza das súas versións finitodimensionais non é un espazo localmente compacto.

Véxase tamén

Outros artigos

• Xeometría euclidiana
• Xeometría analítica
• Medida de Lebesgue