Distribución khi cadrado

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Distribución χ² (khi cadrado)

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	$k>0\,$ graos de liberdade
Soporte	$x\in [0;+\infty )\,$
Función de densidade	${\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,$
Función de distribución	${\frac {\Gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,$
Media	$k\,$
Mediana	aproximadamente $k-2/3\,$
Moda	$k-2\,$ if $k\geq 2\,$
Varianza	$2\,k\,$
Asimetría	${\sqrt {8/k}}\,$
Curtose	$12/k\,$
Entropía	${\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)$
F. xeradora de momentos	$(1-2\,t)^{-k/2}$ for $2\,t<1\,$
Func. caract.	$(1-2\,i\,t)^{-k/2}\,$

A distribución khi cadrado (χ²), chamada tamén distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro $k$ que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

$X=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}$

Onde $Z_{i}$ son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria $X$ segue esta distribución represéntase habitualmente $X\sim \chi _{k}^{2}$.

Propiedades

Función de densidade

A súa función de densidade é:

$f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}$

onde $\Gamma$ é a función gamma.

Demostración

A función densidade de $X_{1}=Z^{2}$ se Z é tipo N(0,1) vén dada por $P(x,x+dx)=f(x_{1})dx_{1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz$

Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z $f(x_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{1}/2}x_{1}^{-{\frac {1}{2}}}$

A función distribución de $X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}$ vén dada pola súa convolución $f(x;k)=f(x_{1})*f(x_{2})*...*f(x_{k})$

Aplicando a transformada de Laplace ${\mathcal {L}}\left\{f(x;k)\right\}=({\mathcal {L}}\left\{f(x_{1})\right\})^{k}={\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}$

Aplicando a antitransformada obtense f(x;k) $f(x;k)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}\right\}={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}$

Función de distribución

A súa función de distribución é

$F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}$

onde $\ \gamma (k,z)$ é a función gamma incompleta.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k.

Relación con outras distribucións

A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito, $X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},\theta =2\right).$ Como consecuencia, cando $k=2$, a distribución χ² é unha distribución exponencial de media $k=2$.

Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha distribución normal:

$\lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)$

Aplicacións

A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.

Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².

Véxase tamén

Outros artigos

• Táboa de continxencia
• Coeficiente de continxencia
• Coeficiente fi
• Jean-Paul Benzécri

Ligazóns externas

• Cálculo da probabilidade dunha distribución khi cadrado con R (linguaxe de programación)