Alcance

Alcance dun proxectil nun tiro parabólico.

O alcance en física é a distancia acadada por un tiro parabólico libre ideal en ausencia de rozamento por resistencia do aire e coa única influencia dunha velocidade inicial e a gravidade. O seu valor está en función do ángulo e da velocidade inicial, e pódese calcular como segue:

Datos previos

Para os cálculos nun tiro parabólico destas características, tómase coma vector de posición inicial o da posición de tiro, e polo tanto: $r_{0x}=0\,$ (1) e $r_{0y}=0\,$ (2)

Tamén se sabe que no punto de alcance, a altura é igual á inicial, e polo tanto nula:

$r_{ay}=0\,$ (3)

Ademais, a descomposición do vector da velocidade inicial permíte saber que:

$v_{0x}=v_{0}\,\cos \alpha$ (4) e $v_{0y}=v_{0}\,\sin \alpha$ (5)

Unha última premisa do problema é que $a_{x}=0\,$ (6), debido a que no movemento só exercen influencia

forzas verticais e non horizontais.

Cálculo

Sabendo que o vector de posición en todo momento é: $r_{y}=r_{0y}+v_{0y}\,t+{\frac {1}{2}}a_{y}\,t^{2}$

simplemente debemos igualar a cero debido á altura de alcance nula (2):

$0=r_{0y}+v_{0y}\,t+{\frac {1}{2}}a_{y}\,t^{2}$

que é unha ecuación de segundo grao do tipo $a\,t^{2}+b\,t+c=0$. Para resolvela búscanse os binomios que a fagan cero mediante a socorrida fórmula de resolución das ecuacións de segundo grao:

$t={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4\,a\,c}}}{2\,a}}={\frac {-v_{0y}\pm {\sqrt {v_{0y}^{2}-4\,r_{0y}\,{\frac {1}{2}}\,a_{y}}}}{2\,{\frac {1}{2}}\,a_{y}}}$

e coma $r_{ay}=0\,$ (3) obtense

$t={\frac {-v_{oy}\pm {\sqrt {v_{oy}^{2}}}}{a_{y}}}={\frac {-v_{oy}\pm v_{oy}}{a_{y}}}$

que ten dúas solucións, unha é $t_{0}=0\,$ (a solución do punto inicial, pois a súa altura neste punto tamén é nula) e a outra é $t_{a}={\frac {-2\,v_{0y}}{a_{y}}}={\frac {2\,v_{0y}}{g}}$ (7).

---

Para calcular a distancia horizontal de alcance só hai que substituír na ecuación de $r_{0x}\,$ este tempo:

$r_{ax}=r_{0x}+v_{0x}\,t+{\frac {1}{2}}\,a_{x}\,t^{2}$

onde se $r_{0x}=0\,$ (1) e $a_{x}=0\,$ (6), substituíndo o valor de $t_{a}\,$ de (7), os valores da descomposición da velocidade de (4) e (5) e

as fórmulas trigonométricas do ángulo dobre:

$r_{ax}=v_{0x}\,t=v_{0x}\,{\frac {-2\,v_{0y}}{a_{y}}}=v_{0}\,\cos \alpha \,{\frac {-2\,v_{0}\,\sin \alpha }{a_{y}}}={\frac {v_{0}^{2}\,2\,\cos \alpha \,\sin \alpha }{g}}={\frac {v_{0}^{2}\,\sin 2\alpha }{g}}$

Véxase tamén

Outros artigos

• altura
• tiro parabólico