Mínimos cadrados: Diferenzas entre revisións
Sen resumo de edición |
Sen resumo de edición |
||
Liña 31: | Liña 31: | ||
:<math>f(x_i) = y_i + \varepsilon_i,</math> |
:<math>f(x_i) = y_i + \varepsilon_i,</math> |
||
onde o termo de ruido ε é unha [[variable aleatoria]] con media cero. Téñase en conta que estamos asumindo que os valores <math>x</math> son exactos, e que todo o error está nos valores <math>y</math>. De novo, distinguimos entre [[regresión lineal]], que en tal caso a función ''f'' é lineal nos parámetros a ser determinados (p.e., ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), e [[regresión non lineal]]. Como antes, a regresión lineal é moito máis |
onde o termo de ruido ε é unha [[variable aleatoria]] con media cero. Téñase en conta que estamos asumindo que os valores <math>x</math> son exactos, e que todo o error está nos valores <math>y</math>. De novo, distinguimos entre [[regresión lineal]], que en tal caso a función ''f'' é lineal nos parámetros a ser determinados (p.e., ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c''), e [[regresión non lineal]]. Como antes, a regresión lineal é moito máis facil que a non lineal. (Téndese a pensar que a razón do nome ''regresión lineal'' é que o gráfico da función ''f''(''x'') = ''ax'' + ''b'' é unha línea. Axustar unha curva ''f''(''x'') = ''ax''<sup>2</sup> + ''bx'' + ''c'', estimando ''a'', ''b'', e ''c'' mediante mínimos cadrados, é un tipo de regresión ''lineal'' porque o vector de estimacións por mínimos cadrados de ''a'', ''b'', e ''c'' é unha [[transformación lineal]] do vector cos seguintes compoñentes |
||
''f''(''x''<sub>''i''</sub>) + ε<sub>''i''</sub>.) |
''f''(''x''<sub>''i''</sub>) + ε<sub>''i''</sub>.) |
||
Revisión como estaba o 7 de outubro de 2005 ás 14:57
Mínimos cadrados é unha técnica matemática de optimización que intenta encontrar o "mellor axuste" para un conxunto de datos mediante a minimización da suma dos cadrados das diferencias ordináis (chamadas residuos) entre a función axustada e os datos.
Un requisito implícito do médoto dos mínimos cadrados para que funcione é que os erros en cada medida deben estar distribuidos aleatoriamente. O Teorema Gauss-Markov prova que os estimadores de mínimos cadrados son insesgados e que os datos mostrales non teñen que seguir por exemplo unha distribución normal. É tamén importante que os datos recollidos estén ben escollidos, para permiti-la visibilidade nas variables a resolver (dando maior peso a datos concretos, ver Mínimos cadrados ponderados).
A técnica dos mínimos cadrados é utilizada normalmente en axustes de curvas. Moitos outros problemas de optimización poden ser expresados mediante mínimos cadrados, tanto minimizando enerxía como maximizando entropía.
Formulación do problema
Supóñase que o conxunto de datos consite nos puntos (xi, yi) con i = 1, 2, ..., n. Queremos obter unha función f tal que
Para obter este obxectivo, supomos que a función f é dunha particular forma que contén algúns parámetros que necesitamos determinar. Por exemplo, supoñamos que é unha función cadrática, f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c non son coñecidos. Agora buscamos os valores de a, b e c que minimizan a suma dos cadrados dos residuos:
Isto explica o nome mínimos cadrados.
Resolvendo o problema dos mínimos cadrados
No exemplo anterior, f é lineal nos parámetros a, b e c. O problema simplifícase considerablemente neste caso e esencialmente redúcese a un sistema lineal de ecuacións. Isto explícase no artigo cadrados mínimos lineales.
O problema é moito máis dificil se f nón é lineal nos parámetros. Entón temos que resolver un problema xeral (non condicionado) de optimización. Calquer algoritmo para ditos problemas, como o Método de Newton e gradente descendente, pode ser usado. Outra posibilidade e aplicar un algoritmo que sexa desenrolado especificamente para tratar problemas de mínimos cadrados, por exemplo o Algoritmo Gauss-Newton ou o Algoritmo Levenberg-Marquardt.
Mínimos cadrados e análise de regresión
Na análise de regresión, reemplazamos a relación
por
onde o termo de ruido ε é unha variable aleatoria con media cero. Téñase en conta que estamos asumindo que os valores son exactos, e que todo o error está nos valores . De novo, distinguimos entre regresión lineal, que en tal caso a función f é lineal nos parámetros a ser determinados (p.e., f(x) = ax2 + bx + c), e regresión non lineal. Como antes, a regresión lineal é moito máis facil que a non lineal. (Téndese a pensar que a razón do nome regresión lineal é que o gráfico da función f(x) = ax + b é unha línea. Axustar unha curva f(x) = ax2 + bx + c, estimando a, b, e c mediante mínimos cadrados, é un tipo de regresión lineal porque o vector de estimacións por mínimos cadrados de a, b, e c é unha transformación lineal do vector cos seguintes compoñentes f(xi) + εi.)
Os valores estimados por mínimos cadrados minimizan S. O Teorema Gauss-Markov demostra que as estimacións de mínimos cadrados son óptimas se collemos f(x) = ax + b sendo a e b os parámetros a determinar e os termos de ruido ε son independentes e identicamente distribuidos.