Factorización

O polinomio x² + cx + d, onde a + b = c e ab = d, pode ser factorizado en (x + un)(x + b).

En matemáticas, a factorización consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios factores, normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, 3 × 5 é un factorización do enteiro 15, e (x – 2)(x + 2) é un factorización do polinomio x² – 4.

A factorización non se adoita a considerar en tanto a estar traballar dentro de sistemas de número que posúen división, como os números reais ou complexos, xa que calquera $x$pode ser trivialmente escrito como $(xy)\times (1/y)$se $y$non é cero ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se escribimos un número racional ou unha función racional en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.

Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o teorema fundamental da aritmética, que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito basease o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha criptografía de chave pública.

polinomio factorización Tamén Foi estudado para séculos. En elemental álxebra, factoring un polinomio reduce o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. polinomios Con coeficientes no enteiros ou nun corpo posúe o único factorización propiedade, unha versión do fundamental teorema de aritmética cos números primos substituíron por irreducível polinomios. En particular, un univariate polinomio cos coeficientes complexos admite un único (até pedir) factorización a lineal polinomios: isto é unha versión do fundamental teorema de álxebra. Neste caso, o factorización pode ser feito con algoritmos que atopan raíz. O caso de polinomios con enteiro os coeficientes é fundamentais para computador álxebra. Hai algoritmos de computador eficiente para informática (completo) factorizacións dentro do anel de polinomios con coeficientes de número racional (ve factorización de polinomios).

Un commutative o anel que posúe o único factorización a propiedade é chamada un único factorización dominio. Hai sistemas de número, como aneis seguros de alxébrico enteiros, os cales non son únicos factorización dominios. Con todo, aneis de alxébrico enteiros satisfacer a propiedade máis débil de Dedekind dominios: factor de ideais uniquely a ideais primos.

factorización Tamén pode referir a descomposicións máis xerais dun obxecto matemático ao produto de obxectos máis pequenos ou máis sinxelos. Por exemplo, cada función pode ser factorizado á composición dun surjective función cun injective función. As matrices posúen moitas clases de matriz factorizacións. Por exemplo, cada matriz ten un LUP único factorización como produto dun máis baixo triangular matriz L con todas as entradas diagonais iguais a un, un superior triangular matriz U, e un permutación matriz P; isto é unha formulación de matriz de Gaussian eliminación.

Enteiros

Polo teorema fundamental da aritmética, todo enteiro maior que 1 ten unha única (a menos cambios da orde) factorización en números primos, que son os enteiros que non poden ser factorizados no produto de enteiros maiores que 1.

Para calcular a factorización dun enteiro n, precísase dun algoritmo para atopar un divisor q de n ou que n é primo, e polo tanto non existe q. De atoparen o divisor q, obteríanse dous factores de n, n / q e q, nos que, ao aplicárenlles este algoritmo repetidamente, conséguese a factorización completa de n.

Para atopar un divisor q de n, se ten algún, abonda con probar todos os valores q tal que 1 < q e q² ≤ n. Chega con probar só con estes porque se r é un divisor de n tal que r² > n , entón q = n / r é un divisor de n tal que q² ≤ n, e xa tería sido atopado

Ao procuraren divisores en orde crecente, o primeiro divisor que sexa atopado ten que ser necesariamente un número primo, e o cofactor r = n / q non pode ter ningún divisor menor que q. Para conseguiren a factorización completo, abondará con continuar o algoritmo na procura dun divisor de r que nin é máis pequeno que q, nin é máis grande que √r.

Non é preciso probar tódolos valores de q para aplicaren o método, pois chega con probar con todos os primos divisores. Mais isto xa precisa dunha táboa de número primos como, por exemplo, a xerada mediante a criba de Eratóstenes. Como método de factorización fai esencialmente o mesmo traballo como a criba de Eratosthenes, en xeral é máis eficiente de probar como divisor só aqueles números que non é evidente se son primos ou non. Tipicamente, procedendo por probar con 2, 3, 5, e os números maiores a 5, co último díxito é 1, 3, 7, 9 e coa suma dos díxitos non múltiplo de 3.

Este método funciona ben para a factorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para máis grande enteiros. Por exemplo, Pierre de Fermat non foi quen de descubrir que o sexto número de Fermat

$1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297$

non é un número primo. De feito, a aplicación do método anterior precisaría máis que 10000 divisións, ao ter o número 10 díxitos decimais.

Na actualidade coñécense algoritmos de factorización máis eficientes, mais fican relativamente ineficiente, ao tentar factorizar un número de 500 díxitos, que é o produto de dous primos escollidos ao chou, incluso cos ordenadores máis potentes. Isto é o que asegura a seguranza do sistema criptográfico RSA, que é amplamente utilizado para comunicación segura na internet.

Exemplo

Farase un exemplo da factorización de n = 1386 en primos:

• Comézase dividindo por 2: o número é par, e n = 2 · 693. Continúase con 693, e 2 como primeiro divisor candidato.
• 693 é impar (2 non é divisor), mais é un múltiplo de 3: 693 = 3 · 231 e n = 2 · 3 · 231. Continúase con 231, e 3 como primeiro divisor candidato.
• 231 = 3 · 77 , e é tamén un múltiplo de 3: un ten n = 2 · 3² · 77 , por isto n = 2 · 3² · 77. Continúase con 77, e 3 como primeiro divisor candidato.
• 77 non é un múltiplo de 3 porque a suma dos seus díxitos é 14, que non un múltiplo de 3. Tampouco é un múltiplo de 5, ao non ser o seu último díxito é 7. O próximo divisor a probaren é 7. Temos que 77 = 7 · 11, e entón n = 2 · 3² · 7 · 11. Isto amosa que 7 é primo (cousa fácil de probar directamente). Continúase con 11, e 7 como primeiro divisor candidato.
• Como 7² > 11, remata; 11 é primo, e a factorización en primos é n = 2 · 3² · 7 · 11.

Expresións

A manipulación de expresións está na base da álxebra, e a factorización é un dos métodos máis importantes. Por exemplo, ao poñer unha ecuación na forma factorizada E⋅F = 0, o resolución do problema divídese nos dous problemas independentes (a miúdo tamén máis sinxelos) E = 0 e F = 0. Cando unha unha expresión pode ser factorizado, os factores son a miúdo moito máis sinxelo e poden ofrecer unha mellor visión do problema. Por exemplo,

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

que ten 16 multiplicacións, 4 subtraccións e 3 adicións, pode ser factorizada á expresión

$(x-a)(x-b)(x-c),$

que só ten dúas multiplicacións e tres subtraccións. Ademais, a forma factorizada amosa con claridade as raíces x = a,b,c do polinomio en x representado por esta expresión.

Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, $x^{997}-1$pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: $x-1$ e $x^{996}+x^{995}+\cdots +x^{2}+x+1$.

A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, fe feito, o fundamental teorema de álxebra pode ser enunciado cun caracter de factorización: todo polinomio x de grao n cos coeficientes complexos factoriza en n factores lineais $x-a_{i},$para i = 1, ..., n, onde os a_i son as raíces do polinomio. Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os a_i xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces n-ésimas), polo teorema de Abel–Ruffini. Na maioría destes casos, o único que se pode facer calcular unha aproximación da raíz con algún algoritmo para encontrar raíz.

Historia da factorización de expresións

O uso sistemático de manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente ecuacións) rexístrase até século IX, co libro Libro Compendio sobre Cálculo por Restauración e Balanceamento de Al-Khwarizmi, titulado con dous tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar ecuacións cadráticas, a factorización non se utilizou até a publicación en 1631 do traballo de Thomas Harriot, dez anos após a súa morte.

No seu libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, Harriot debuxou, nunha primeira sección, táboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nunha segunda sección, montou a ecuación aa − ba + ca = + bc , e mostrou que isto emparella a forma da multiplicación, xa proporcionada, sendo a factorización (a − b)(a + c) .

Métodos xerais

Os métodos que son descritos abaixo aplícanse a calquera expresión que é unha suma, ou ben pode ser transformado nunha suma. Por tanto, acotío son usadas cos polinomios, mesmo tamén se poden aplicar cando os termos da suma non son monomios, senón que son produto de variábeis e constantes.

Factor común

No caso de seren produtos todos os termos dunha suma e que algúns factores sexan comúns a tódolos termos, pola propiedade distributiva pódese factorizar este factor común. Tamén, de haber coeficientes enteiros, pódese sacar fóra o máximo común divisor destes coeficientes.

Por exemplo,

$6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),$

Xa que 2 é máximo común divisor de 6, 8, e 10, e $x^{3}y^{2}$ divide tódolos termos.

Agrupación

As veces, ao agruparen os termos faise posíbel aplicar outros métodos para factorizar. Por exemplo, para factorizar

$4x^{2}+20x+3xy+15y,$

pódese remarcar os dous primeiros termos comparten o factor común x e os dous últimos termos, o factor común y. Así

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15)=4x(x+5)+3y(x+5)$

Entón, agora os dous termos actuais comparten o factor común x + 5, que leva á factorización

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(x+5)(4x+3y)$

En xeral, isto funciona para sumas de 4 termos que foron obtidas como o produto de dous binomiais. A pesar de non ser frecuentemente, este método tamén se pode empregar para exemplos máis complicados.

Sumando e restando termos

Ás veces, algunha agrupacións de termos deixa aparecer unha parte dun patrón recoñecíbel. Entón é útil de engadir termos para completar o patrón, e restarllos para non mudaren o valor da expresión.

Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de ecuación de segundo grado.

Outro exemplo é a factorización de $x^{4}+1$, que un presenta a raíz cadrada imaxinaria de –1, xeralmente denotadoc como i, entón tense unha diferenza de termos$x^{4}+1.$

$x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).$

Con todo, pódese tamén querer un factorización con coeficientes de números reais. Sumando e restando $2x^{2},$ e agrupación tres termos xuntos, un pode recoñecer a termo dun binomial

$x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).$

Sumar e restar $2x^{2},$ tamén leva á factorización

$x^{4}+1=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).$

Estas factorizacións non só traballan sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera corpo onde 1, 2 ou –2 sexan cadrados. Nun corpo finito, o produto de dous termos non cadrados e un termo cadrado, isto implica que o polinomio $x^{4}+1$, que é irredutíbel sobre o enteiros, é reducíbel modulo calquera número primo. Por exemplo

$x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},\qquad$xa que $1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},\qquad$ xa que $2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},\qquad$ xa que $3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.$

Patróns recoñecíbeis

Moitas identidades proporcionan igualdades entre unha suma e un produto. Os métodos anteriormente descritos poden ser utilizados para deixar illar na expresión a parte da suma, para despois substituíla por un produto.

Nas seguintes identidades, o lado dereito será usado como patrón. Deste xeito, as variábeis E e F que aparecen na identidades poden representar calquera subexpresión da expresión da expresión a factorizar.

• Diferenza de dous cadrados

$E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)$

Por exemplo,

${\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}$

• Diferenza/de suma de dous cubos

Unha representación visual do factorización dos cubos que utilizan volumes. Para unha suma de cubos, sinxelamente substituto z=-y.

$E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})$

$E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})$

• Diferenza de dúas potencias cuartas

$E^{4}-F^{4}=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)$

• Diferenza/de suma de dúas potencias n-ésimas

Nas identidades seguintes, ao factorizar aparecen termos máis longos:

• Diferenza, expoñente uniforme

$E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})$

• Diferenza, mesmo ou expoñente estraño

$E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})$

Isto é un exemplo que amosa que un factor pode ter moitos máis termos que a suma que factoriza.

• Suma, expoñente estraño

$E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})$

(Obtido por cambiante F por –F na fórmula anterior)

• Suma, expoñente uniforme

Se o expoñente é unha potencia de dos, a expresión non se pode factorizar en xeral sen engadir números complexos (de conter E e F números complexos, pode mudar o caso). Se n te un divisor impar, que é n = pq con p impar, poderíase usar fórmula do caso de expoñente impar aplicado a $(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.$

• Trinomiais e fórmulas cúbicas

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\,&=(x+y+z)^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\,&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,&=(x+y+z)^{3}\\x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\,&=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}$

• Expansións binomiais

Visualisación De binomial expansión até o 4.º poder

O teorema do binomial subministra patróns que facilmente poden ser recoñecido grazas aos enteiros que aparecen. Con grados pequenos:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$

Máis xeralmente, os coeficientes das formas expandidas de $(a+b)^{n}$ e $(a-b)^{n}$son os coeficientes binomiais que aparecen na n-ésima fileira do triángulo de Pascal.

Raíces de unidade

As n-ésimas raíces da unidade son os números complexos tales que son a raíz do polinomio $x^{n}-1$e son da forma:

$e^{2ik\pi /n}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

para $k=0,\ldots ,n-1.$

Dedúcese para dúas expresións calquera E e F, tense:

$E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)\pi /n}\right)\qquad {\text{se }}n{\text{ é par}}$

$E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{se }}n{\text{ é impar}}$

Se E e F son expresión reais, de quereren factores reais, teríase que substituír cada par de complexos factores conxugados polo seu produto. Como o complexo conxugado $e^{i\alpha }$é $e^{-i\alpha },$e $\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},$dedúcese a seguinte real factorizacións (cambiando dun ao outro por trocando k en n – k ou n – k +1, e aplicando fórmulas trigonométricas:

${\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\frac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\frac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

O coseno que aparece nestas factorizacións é un número alxébrico, e pode ser expresado en termos de radicais (isto é posíbel porque o seu grupo de Galois é cíclico); con todo, estas expresións radicais son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto valores baixos de n. Por exemplo

$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

A miúdo, quérese unha factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica polinomios ciclotómicos. Para expresar factorizacións racional de sumas e diferenzas ou potencias, precisamos da notación para a homoxeneización dun polinomio: se $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$a súa homoxeneización é o polinomio bivariate

${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.$

Entón, tense que

$E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

onde os produtos son fanse sobre tódolos divisores de n, ou tódolos divisores de 2n que non dividen n, e $Q_{n}(x)$ é o n-ésimo polinomio ciclotómico.

Por exemplo,

$a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),$

$a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{2}),$

aa que o divisores de 6 son 1, 2, 3, 6, e o divisores de 12 que non divide a 6 son 4 e 12.

Polinomios

Nos polinomios, a factorización vai fortemente ligada co problema de solucionar ecuacións alxébricas. Unha ecuación alxébrica ten a forma

$P(x)=0,$

onde

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$

onde P(x) é un polinomio en x, tal que $a_{0}\neq 0.$. A solución desta ecuación, ou raíz do polinomio, é un valor r de x tal que

$P(r)=0.$

Se

$P(x)=Q(x)R(x)$

é unha factorización de P como produto de dous polinomios, entón as raíces de P son a unión das raíces de Q e mais as raíces de R. Así, solucionar P redúcese aos problemas, máis sinxelos, de solucionar Q e R.

Inversamente, o teorema do factor afirma que, se r é unha raíz de P, entón P pode ser escribir da forma

$P(x)=(x-r)Q(x),$

onde Q(x) é o cociente da división euclidiana de P por x – r.

Se os coeficientes de P son números reais ou complexos, o teorema fundamental da álxebra afirma que P ten unha raíz real ou complexa. Entón, utilizado co teorema do factor recursivamente, resulta en que

$P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$

onde $r_{1},\ldots ,r_{n}$ son as raíces, reais ou complexas, de P e con posíbeis repeticións. Esta factorización completa é única levada a orde dos factores.

De seren reais os coeficientes de P, polo xeral quérese tamén unha factorización onde os factores tivesen coeficientes reais. Neste caso, os factores da factorización completa poden chegar a ter grao dous. Este factorización pode ser facilmente deducida da forma factorización completa. De feito, se r = a + ib é unha raíz non real de P, entón o seu conxugado s = a - ib é tamén unha raíz de P, xa que

${\begin{aligned}{\overline {P(x)}}&={\overline {a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}}}=\\&={\overline {a_{0}x^{n}}}+{\overline {a_{1}x^{n-1}}}+\cdots {\overline {a_{n-1}x}}+{\overline {a_{n}}}=\\&=a_{0}{\bar {x}}^{n}+a_{1}{\bar {x}}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}{\bar {x}}+a_{n}=\\&=P({\bar {x}})\end{aligned}}$

e entón

$P(r)=0\implies P(s)=P({\bar {r}})={\overline {P(r)}}=0$

s = a - ibe r = a + ib = un r = a + ib ib é r = a + ibha raíz non real de P, entón o seu complexo conxuga s = un s = a - ib r = a + ib é tamén unha raíz de P. Tan, o produto

$(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}$

É un factor de P que ten coeficientes reais. Esta agrupación de factores non reais pode ser continuada até conseguir finalmente un factorización con factores reais que son polinomios de graos un ou dous.

Para computar estes real ou complexo factorizacións, un ten que saber as raíces do polinomio. En xeral, non poden ser computados exactamente, e único approximative os valores das raíces poden ser obtidos. Ve algoritmo que atopa Raíz para un resumo dos algoritmos eficientes numerosos que foron deseñado para este propósito.

A maioría de alxébrico ecuacións que son atopadas na práctica ha enteiro ou coeficientes racionais, e un pode querer un factorización con factores da mesma clase. O fundamental teorema de aritmética pode ser xeneralizado a este caso. Aquilo é, polinomios con enteiro ou os coeficientes racionais teñen o único factorización propiedade. Máis precisamente, cada polinomio cos coeficientes racionais poden ser factorizado nun produto

$P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),$

Onde q é un número racional e $P_{1},\ldots ,P_{k}$É non-constante polinomios con enteiro coeficientes que son irredutíbel e primitivo; isto significa que ningún $P_{i}$Pode ser escrito como o produto dous polinomios (con enteiro coeficientes) que son tampouco 1 nin –1 (enteiros é considerado tan polinomios de grao cero). Ademais, este factorización é único até o encargo dos factores e a multiplicación por –1 dun número uniforme de factores.

Hai algoritmos eficientes para computar este factorización, os cales son aplicados na maioría de computador álxebra sistemas. Ve factorización de polinomios. Desafortunadamente, para un papel-e-lapis computación, estes algoritmos son tamén complicar para ser usável. Xunto a xeral heuristics que é descrita encima, só uns cantos métodos son dispoñíbeis neste caso, os cales xeralmente traballan só para polinomios de grao baixo, con poucos non nulo coeficientes. O principal tales métodos son descritos en próximo subseccións.

Factorización primitiva baseada no contido

Todo polinomio con coeficientes racionais, pode ser factorizado de xeito único como produto dun número racional e un polinomio de coeficientes enteiro, que é primitivo (o máximo común divisor dos coeficientes é 1) e o seu coeficiente principal (coeficiente do termo do grao máis alto) é positivo. Por exemplo:

$-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)$

${\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)$

Nesta factorización, o número racional nomease como o contido e o polinomio primitivo, como a parte primitiva. O cálculo desta factorización pode ser feita deste xeito:

• En primeiro lugar, redúcesen todos os coeficientes a un denominador común, para conseguir o cociente por un enteiro q dun polinomio con enteiro coeficientes.
• Entón un divide fóra do máis grande común divisor p dos coeficientes deste polinomio para conseguir a parte primitiva, o ser de contido $p/q.$
• Finalmente, se necesita, un muda os signos de p e tódolos coeficientes da parte primitiva.

Este factorización pode producir un resultado que é máis grande que o polinomio orixinal (o exemplo típico é se hai moitos denominadores coprimos), mais, mesmo cando isto é o caso, a parte primitiva é xeralmente máis fácil de manipular para factorizacións posteriores.

Utilizando o teorema do factor

Artigo principal: Teorema do factor.

O teorema do factor expón que, se r é raíz dun polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{0}$

(o número que cumpre que P(r) = 0), entón hai un factorización

$P(x)=(x-r)Q(x),$

onde

$Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},$

con $a_{0}=b_{0},$ e $b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}$para i = 1, ..., n – 1

Isto pode ser útil cando, tanto dunha inspección ou dunha información externa, cóñecese unha raíz do polinomio. Para calcular Q(x), no lugar de utilizar fórmula anterior, tamén é posíbel usar a regra de Ruffini.

Por exemplo, para o polinomio $x^{3}-3x+2,$un facilmente podería ver que a suma dos seus coeficientes é 0. Por isto, r = 1 é unha raíz. Como r + 0 = 1, e $r^{2}+0r-3=-2,$tense que

$x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).$

Raíces racionais

Buscando raíces racionais dun polinomio ten sentido só para polinomios con coeficientes racionais. Parte primitiva-contido factorización (ve por riba de) reduce o problema de buscar raíces racionais ao caso de polinomios con enteiro coeficientes tal que o máis grande común divisor dos coeficientes é un,

Se

${\frac {p}{q}}$É unha raíz racional de tal polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},$

O teorema do factor mostra que un ten un factorización

$P(x)=(qx-p)Q(x),$

Onde ambos os dous factores haber enteiro coeficientes (o feito que Q ha enteiro resultados de coeficientes desde o P(x)or riba de fórmula para o cociente de P(P(x)) por x

$x-p/q$

Comparando os coeficientes de grao n e os coeficientes constantes no or riba de espectáculos de igualdade que, se ${\frac {p}{q}}$

É unha raíz racional en forma reducida, entón q é $a_{0},$ divisor dun

$a_{0},$

, {$a_{n}.$ $a_{0},$un_{0},} E p é un divisor dun n . {\displaystyle Un_{n}.${\frac {p}{q}}$$a_{0},$} Por tanto hai un número finito de posibilidades para p e q, os cales poden ser sistematicamente examinou.$a_{n}.$

Por exemplo, se o polinomio

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6$

Ten unha raíz racional $p/q,$/Entón p ter ue divide 6, que é $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$, {$q\in \{1,2\}.$ Ademais, se x < 0 x < 0, todos os termos do polinomio é negativo, e, por tanto, unha raíz non pode ser negativa.$q\in \{1,2\}.$ Aquilo é, un ten que ter

${\frac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\}.$

Un directo computación mostra que ${\frac {3}{2}}$É unha raíz, e que hai non outra raíz racional. Aplicando o teorema do factor lidera finalmente ao factorización

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

Para polinomios cadráticos, o por riba do método pode ser adaptado, liderando ao tan chamado ac método de factorización.

AC method

Sexa o polinomio cadrático $ax^{2}+bx+c$de coeficientes enteiro. Se ten a ha raíz racional, o seu denominador ten que divide un equitativamente. Tan, pode se${\frac {r}{a}}.$ escrito como posibelmente fracción reducíbel.

${\frac {r}{a}}.$Por Vieta fórmulas, a outra raíz é${\frac {r}{a}}.$

$-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},$

Con $s=-(b+r).$Por isto a segunda raíz é tamén racional, e o segundo Vieta a fórmula dá

${\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},$

Aquilo é

$rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.$

Comprobando todos os pares de enteiros cuxo produto é ac dá as raíces racionais, se algún.

Por exemplo, deixado considerar o polinomio cadrático

Inspección dos fac = 36tores de ac = 36 vantaxes a 4 + 9 = 13 = 4 + 9 = 13 = b, dando as dúas raíces

$-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},$

E o factorización

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&=6(x+{\frac {2}{3}})(x+{\frac {3}{2}})\\&=(3x+2)(2x+3).\end{aligned}}$

Utilizando fórmulas para polinomio raíces

Calquera invariate polinomio cadrático

$ax^{2}+bx+c$

Pode ser factorizado utilizando o quadratic fórmula:

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),$

Onde

$\alpha$

E

$\beta$

É as dúas raíces do polinomio.

Se un, b, c é todo real, os factores son reais se e só se o discriminante

$b^{2}-4ac$

É non-negativo. Doutro xeito, o polinomio cadrático non pode ser factorizándoa non-factores reais constantes.

O quadratic a fórmula é válida cando os coeficientes pertencen a calquera corpo de característico diferente desde dous, e, en particular, para coeficientes nun corpo finito cun número estraño de elementos.

hai tamén fórmulas para raíces de cúbico e quartic polinomios, os cales son, en xeral, tamén complicado para uso práctico. O Abel–Ruffini teorema mostra que hai non fórmulas de raíz xeral en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou máis alto.

Usando relacións entre raíces

Pode ocorrer que un sabe algunha relación entre as raíces dun polinomio e os seus coeficientes. Utilizando este coñecemento pode axudar a factorar o polinomio e atopando as súas raíces. A teoría de Galois está baseada nun estudo sistemático das relacións entre raíces e coeficientes, que inclúe as fórmulas de Vieta.

Aquí, considerarase o caso máis sinxelo onde dúas raíces $x_{1}$e $x_{2}$ dun polinomio $P(x)$satisfán a relación$x_{2}=Q(x_{1}),$onde Q é un polinomio.

Isto implica que $x_{1}$é unha raíz común de $P(Q(x))$e $P(x).$De aí que, polo tanto, tamén é unha raíz do máximo común divisor de ámbolos dous polinomios. Entón o máximo coún divisor é un factor non constante de $P(x)$e o algoritmo de Euclides de polinomios permite calculalo

Por exemplo, se se adiviña que $P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$ ten dúas raíces que suman a cero, pódese aplicar entón o algoritmo de Euclides $P(x)$e $P(-x).$ O primeiro paso consiste en sumar $P(x)$ e $P(-x),$dando o resto de

$-10(x^{2}-16).$

Entón, dividindo $P(x)$por $x^{2}-16$dá cero como novo resto, e x – 5 como cociente, chegando así á factorización completa

$P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80=(x-5)(x-4)(x+4)$

Dominios de factorización única

O enteiros e o polinomios sobre un corpo comparte a propiedade de factorización única, que consiste en que todo elemento non nulo factoriza nun produto de elementos invertíbeis (unha unidade, ±1 no caso de enteiros) e un produto de elementos irredutíbel (números primos, no caso dos enteiros), e este factorización é única apenas cambios da orde dos factores. Os dominios de integridade que comparten esta propiedade é son chamados dominios de factorización única (DFU).

O máximo común divisor sempre existe nos DFU e, inversamente, todo dominio integral no que o máximo común divisor existe é un DFU. Todos os dominios de ideais principais son un DFU.

Un dominio euclideá é un dominio de integridade no cal está definida unha división euclidiana, similar a dos enteiros. Todo dominio euclidiano é un dominio de ideais principais e, polo tanto, un DFU.

Nun dominio euclidiano, a división euclidiana permite definir un algoritmo de Euclides para calcular o máximo común divisor. Con todo, isto non implica a existencia dun algoritmo de factorización

Ideais

En teoría de números alxébricos, o estudo de ecuacións diofantianas guiou os matemáticos, durante o século XIX, até chegaren a introducir as xeneralizacións dos enteiros chamados enteiros alxébricos. Os primeiros aneis de enteiros alxébricos estudados teñen sido o anel que considera os enteiros gaussianos e o que considera os enteiros de Eisenstein. Estas dúas clases de enteiros alxébricos comparten cos enteiros tradicionais a propiedade de ser dominios de ideais principais, e ter así a propiedade de factorización única.

Desafortunadamente, axiña se demostrou que a maioría de aneis de enteiros alxébricos non son principais e non teñen factorización única. Deles, o exemplo máis sinxelo é ${\mathbb {Z}}[{\sqrt {-5}}],$ en que

$9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),$

e todos estes factores son irredutíbeis.

A carencia de factorización única é unha gran dificultade para solucionar ecuacións diofantianas. Por exemplo, moitas probas incorrectas do Último Teorema de Fermat (probabelmente incluíndo a demostración de Fermat de "teño unha proba verdadeiramente marabillosa disto, mais esta marxe é demasiado estreita para contela") foron baseadas na suposición implícita dunha única factorización.

Dedekind resolveu esta dificultade, quen probou que os aneis de enteiros alxébricos teñen unha única factorización de ideais: nestes aneis, todo ideal é un produto de ideais primos, e esta factorización é única levado a orde dos factores. Os dominios integrais que teñen esta propiedade de factorización única son chamados dominios de Dedekind. Teñen moitas propiedades agradábeis que lles fan fundamentais en teoría de número alxébricos.

Matrices

Artigo principal: Descomposición de matrices.

Os aneis de matrices son non conmutativos e non teñen unha única factorización: hai, en xeral, moitos xeitos de escribir unha matriz como produto de matrices. Así, o problema da factorización muda a consistir no problema de atopar factores de certas formas específicas. Por exemplo, a descomposición LU factoriza unha matriz como o produto dunha matriz triangular inferior e mais unha matriz triangular superior. As veces non é sempre posíbel, polo que se considera a "descomposición LUP" tendo unha matriz permutación como o terceiro factor.

Unha matriz lóxica representa un relación binaria, e multiplicación de matrices corresponde á composición de relacións. A descomposición dunha relación factorizándoa serve para percibir mellor a natureza da relación, como no caso dunha relación difuncional