Factorización

O polinomio x² + cx + d, onde a + b = c e ab = d, pode ser factorizado en (x + un)(x + b).

En matemáticas, a factorización consiste en escribir un número ou outro obxecto matemático como produto de varios factores, normalmente obxectos máis pequenos ou máis sinxelos do mesmo tipo. Por exemplo, 3 × 5 é un factorización do enteiro 15, e (x – 2)(x + 2) é un factorización do polinomio x² – 4.

A factorización non se adoita a considerar en tanto a estar traballar dentro de sistemas de número que posúen división, como os números reais ou complexos, xa que calquera $x$pode ser trivialmente escrito como $(xy)\times (1/y)$se $y$non é cero ou unha unidade. Con todo, pódense obter factorizacións que teñan un significado claro, por exemplo se escribimos un número racional ou unha función racional en termos máis pequenos e separando os factores do numerador e o denominador.

Nas matemáticas da Antiga Grecia, a factorización soamente se consideraba no caso dos enteiros. Daquela probouse o teorema fundamental da aritmética, que afirma que todos os enteiros positivos poden ser descompostos nun produto de números primos, que non poden ser factorizados en enteiros maiores ca 1. Ademais, esta factorización é única a menos de cambios da orde dos factores. Malia que a factorización de enteiros case semella o contrario á multiplicación, é moito máis difícil algoritmicamente e neste feito basease o sistema criptográfico RSA para pór en funcionamento unha criptografía de chave pública.

polinomio factorización Tamén Foi estudado para séculos. En elemental álxebra, factoring un polinomio reduce o problema de atopar as súas raíces a atopar as raíces dos factores. polinomios Con coeficientes no enteiros ou nun corpo posúe o único factorización propiedade, unha versión do fundamental teorema de aritmética cos números primos substituíron por irreducível polinomios. En particular, un univariate polinomio cos coeficientes complexos admite un único (até pedir) factorización a lineal polinomios: isto é unha versión do fundamental teorema de álxebra. Neste caso, o factorización pode ser feito con algoritmos que atopan raíz. O caso de polinomios con enteiro os coeficientes é fundamentais para computador álxebra. Hai algoritmos de computador eficiente para informática (completo) factorizacións dentro do anel de polinomios con coeficientes de número racional (ve factorización de polinomios).

Un commutative o anel que posúe o único factorización a propiedade é chamada un único factorización dominio. Hai sistemas de número, como aneis seguros de alxébrico enteiros, os cales non son únicos factorización dominios. Con todo, aneis de alxébrico enteiros satisfacer a propiedade máis débil de Dedekind dominios: factor de ideais uniquely a ideais primos.

factorización Tamén pode referir a descomposicións máis xerais dun obxecto matemático ao produto de obxectos máis pequenos ou máis sinxelos. Por exemplo, cada función pode ser factorizado á composición dun surjective función cun injective función. As matrices posúen moitas clases de matriz factorizacións. Por exemplo, cada matriz ten un LUP único factorización como produto dun máis baixo triangular matriz L con todas as entradas diagonais iguais a un, un superior triangular matriz U, e un permutación matriz P; isto é unha formulación de matriz de Gaussian eliminación.

Enteiros

Polo teorema fundamental da aritmética, todo enteiro maior que 1 ten unha única (a menos cambios da orde) factorización en números primos, que son os enteiros que non poden ser factorizados no produto de enteiros maiores que 1.

Para calcular a factorización dun enteiro n, precísase dun algoritmo para atopar un divisor q de n ou que n é primo, e polo tanto non existe q. De atoparen o divisor q, obteríanse dous factores de n, n / q e q, nos que, ao aplicárenlles este algoritmo repetidamente, conséguese a factorización completa de n.

Para atopar un divisor q de n, se ten algún, abonda con probar todos os valores q tal que 1 < q e q² ≤ n. Chega con probar só con estes porque se r é un divisor de n tal que r² > n , entón q = n / r é un divisor de n tal que q² ≤ n, e xa tería sido atopado

Ao procuraren divisores en orde crecente, o primeiro divisor que sexa atopado ten que ser necesariamente un número primo, e o cofactor r = n / q non pode ter ningún divisor menor que q. Para conseguiren a factorización completo, abondará con continuar o algoritmo na procura dun divisor de r que nin é máis pequeno que q, nin é máis grande que √r.

Non é preciso probar tódolos valores de q para aplicaren o método, pois chega con probar con todos os primos divisores. Mais isto xa precisa dunha táboa de número primos como, por exemplo, a xerada mediante a criba de Eratóstenes. Como método de factorización fai esencialmente o mesmo traballo como a criba de Eratosthenes, en xeral é máis eficiente de probar como divisor só aqueles números que non é evidente se son primos ou non. Tipicamente, procedendo por probar con 2, 3, 5, e os números maiores a 5, co último díxito é 1, 3, 7, 9 e coa suma dos díxitos non múltiplo de 3.

Este método funciona ben para a factorización de números enteiros pequenos, mais é ineficiente para máis grande enteiros. Por exemplo, Pierre de Fermat non foi quen de descubrir que o sexto número de Fermat

$1+2^{2^{5}}=1+2^{32}=4\,294\,967\,297$

non é un número primo. De feito, a aplicación do método anterior precisaría máis que 10000 divisións, ao ter o número 10 díxitos decimais.

Na actualidade coñécense algoritmos de factorización máis eficientes, mais fican relativamente ineficiente, ao tentar factorizar un número de 500 díxitos, que é o produto de dous primos escollidos ao chou, incluso cos ordenadores máis potentes. Isto é o que asegura a seguranza do sistema criptográfico RSA, que é amplamente utilizado para comunicación segura na internet.

Exemplo

Farase un exemplo da factorización de n = 1386 en primos:

• Comézase dividindo por 2: o número é par, e n = 2 · 693. Continúase con 693, e 2 como primeiro divisor candidato.
• 693 é impar (2 non é divisor), mais é un múltiplo de 3: 693 = 3 · 231 e n = 2 · 3 · 231. Continúase con 231, e 3 como primeiro divisor candidato.
• 231 = 3 · 77 , e é tamén un múltiplo de 3: un ten n = 2 · 3² · 77 , por isto n = 2 · 3² · 77. Continúase con 77, e 3 como primeiro divisor candidato.
• 77 non é un múltiplo de 3 porque a suma dos seus díxitos é 14, que non un múltiplo de 3. Tampouco é un múltiplo de 5, ao non ser o seu último díxito é 7. O próximo divisor a probaren é 7. Temos que 77 = 7 · 11, e entón n = 2 · 3² · 7 · 11. Isto amosa que 7 é primo (cousa fácil de probar directamente). Continúase con 11, e 7 como primeiro divisor candidato.
• Como 7² > 11, remata; 11 é primo, e a factorización en primos é n = 2 · 3² · 7 · 11.

Expresións

A manipulación de expresións está na base da álxebra, e a factorización é un dos métodos máis importantes. Por exemplo, ao poñer unha ecuación na forma factorizada E⋅F = 0, o resolución do problema divídese nos dous problemas independentes (a miúdo tamén máis sinxelos) E = 0 e F = 0. Cando unha unha expresión pode ser factorizado, os factores son a miúdo moito máis sinxelo e poden ofrecer unha mellor visión do problema. Por exemplo,

$x^{3}-ax^{2}-bx^{2}-cx^{2}+abx+acx+bcx-abc$

que ten 16 multiplicacións, 4 subtraccións e 3 adicións, pode ser factorizada á expresión

$(x-a)(x-b)(x-c),$

que só ten dúas multiplicacións e tres subtraccións. Ademais, a forma factorizada amosa con claridade as raíces x = a,b,c do polinomio en x representado por esta expresión.

Doutra banda, a factorización non é sempre posíbel, ou cando é posíbel, os factores non son sempre máis sinxelo. Por exemplo, $x^{997}-1$pode ser factorizado en dous factores irredutíbeis: $x-1$ e $x^{996}+x^{995}+\cdots +x^{2}+x+1$.

A solución de ecuación alxébricas pode pensarse como un problema de factorización e, fe feito, o fundamental teorema de álxebra pode ser enunciado cun caracter de factorización: todo polinomio x de grao n cos coeficientes complexos factoriza en n factores lineais $x-a_{i},$para i = 1, ..., n, onde os a_i son as raíces do polinomio. Aínda que a estrutura da factorización é coñecida nestes casos, os a_i xeralmente non se poden calcular en termos de radicais (raíces n-ésimas), polo teorema de Abel–Ruffini. Na maioría destes casos, o único que se pode facer calcular unha aproximación da raíz con algún algoritmo para encontrar raíz.

Historia da factorización de expresións

O uso sistemático de manipulacións alxébricas para simplificar expresións (máis especificamente ecuacións) rexístrase até século IX, co libro Libro Compendio sobre Cálculo por Restauración e Balanceamento de Al-Khwarizmi, titulado con dous tipos de manipulación. Con todo, mesmo para solucionar ecuacións cadráticas, a factorización non se utilizou até a publicación en 1631 do traballo de Thomas Harriot, dez anos após a súa morte.

No seu libro Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas, Harriot debuxou, nunha primeira sección, táboas para adición, subtracción, multiplicación e división de monomiais, binomiais, e trinomiais. Entón, nunha segunda sección, montou a ecuación aa − ba + ca = + bc , e mostrou que isto emparella a forma da multiplicación, xa proporcionada, sendo a factorización (a − b)(a + c) .

Métodos xerais

Os métodos que son descritos abaixo aplicánse a calquera expresión que é unha suma, ou ben pode ser transformado nunha suma. Por tanto, acotío son usadas cos polinomios, mesmo tamén se poden aplicar cando os termos da suma non son monomios, senón que son produto de variábeis e constantes.

Factor común

No caso de seren produtos todos os termos dunha suma e que algúns factores sexan comúns a tódolos termos, pola propiedade distributiva pódese factorizar este factor común. Tamén, de haber coeficientes enteiros, pódese sacar fóra o máximo común divisor destes coeficientes.

Por exemplo,

$6x^{3}y^{2}+8x^{4}y^{3}-10x^{5}y^{3}=2x^{3}y^{2}(3+4xy-5x^{2}y),$

Xa que 2 é máximo común divisor de 6, 8, e 10, e $x^{3}y^{2}$ divide tódolos termos.

Agrupación

As veces, ao agruparen os termos faise posíbel aplicar outros métodos para factorizar. Por exemplo, para factorizar

$4x^{2}+20x+3xy+15y,$

pódese remarcar os dous primeiros termos comparten o factor común x e os dous últimos termos, o factor común y. Así

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(4x^{2}+20x)+(3xy+15)=4x(x+5)+3y(x+5)$

Entón, agora os dous termos actuais comparten o factor común x + 5, que leva á factorización

$4x^{2}+20x+3xy+15y=(x+5)(4x+3y)$

En xeral, isto funciona para sumas de 4 termos que foron obtidas como o produto de dous binomiais. A pesar de non ser frecuentemente, este método tamén se pode empregar para exemplos máis complicados.

Sumando e restando termos

Ás veces, algunha agrupacións de termos deixa aparecer unha parte dun patrón recoñecíbel. Entón é útil de engadir termos para completar o patrón, e restarllos para non mudaren o valor da expresión.

Un uso típico disto é o método de "completar cadrados" para conseguir a fórmula de resolución de ecuación de segundo grado.

Outro exemplo é a factorización de $x^{4}+1$, que un presenta a raíz cadrada imaxinaria de –1, xeralmente denotadoc como i, entón tense unha diferenza de termos$x^{4}+1.$

$x^{4}+1=(x^{2}+i)(x^{2}-i).$

Con todo, pódese tamén querer un factorización con coeficientes de números reais. Sumando e restando $2x^{2},$ e agrupación tres termos xuntos, un pode recoñecer a termo dun binomial

$x^{4}+1=(x^{4}+2x^{2}+1)-2x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-\left(x{\sqrt {2}}\right)^{2}=\left(x^{2}+x{\sqrt {2}}+1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {2}}+1\right).$

Sumar e restar $2x^{2},$ tamén leva á factorización

$x^{4}+1=\left(x^{2}+x{\sqrt {-2}}-1\right)\left(x^{2}-x{\sqrt {-2}}-1\right).$

Estas factorizacións non só traballan sobre os números complexos, mais tamén sobre calquera corpo onde 1, 2 ou –2 sexan cadrados. Nun corpo finito, o produto de dous termos non cadrados e un termo cadrado, isto implica que o polinomio $x^{4}+1$, que é irredutíbel sobre o enteiros, é reducíbel modulo calquera número primo. Por exemplo

$x^{4}+1\equiv (x+1)^{4}{\pmod {2}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+x-1)(x^{2}-x-1){\pmod {3}},\qquad$xa que $1^{2}\equiv -2{\pmod {3}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+2)(x^{2}-2){\pmod {5}},\qquad$ xa que $2^{2}\equiv -1{\pmod {5}};$

$x^{4}+1\equiv (x^{2}+3x+1)(x^{2}-3x+1){\pmod {7}},\qquad$ xa que $3^{2}\equiv 2{\pmod {7}}.$

Patróns recoñecíbeis

Moitas identidades proporcionan unha igualdade entre unha suma e un produto. O por riba dos métodos poden ser utilizados para deixar o lado de suma dalgunha identidade aparece nunha expresión, os cales por tanto poden ser substituídos por un produto.

Abaixo é identidades cuxos lados esquerdos son xeralmente utilizado como patróns (isto significa que as variábeis E e F que aparecen nestas identidades poden representar calquera subexpression da expresión que ten que ser factorizada.

• Diferenza de dous cadrados

$E^{2}-F^{2}=(E+F)(E-F)$

Por exemplo,

${\begin{aligned}a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}+2xy-y^{2}&=(a^{2}+2ab+b^{2})-(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=(a+b)^{2}-(x-y)^{2}\\&=(a+b+x-y)(a+b-x+y).\end{aligned}}$

• Diferenza/de suma de dous cubos

Unha representación visual do factorización dos cubos que utilizan volumes. Para unha suma de cubos, sinxelamente substituto z=-y.

$E^{3}+F^{3}=(E+F)(E^{2}-EF+F^{2})$

$E^{3}-F^{3}=(E-F)(E^{2}+EF+F^{2})$

• Diferenza de dúas potencias cuartas

$E^{4}-F^{4}=(E^{2}+F^{2})(E^{2}-F^{2})=(E^{2}+F^{2})(E+F)(E-F)$

• Diferenza/de suma de dúas potencias n-ésimas

Nas identidades seguintes, os factores a miúdo poden ser máis afastados factorized:

• Diferenza, expoñente uniforme

$E^{2n}-F^{2n}=(E^{n}+F^{n})(E^{n}-F^{n})$

• Diferenza, mesmo ou expoñente estraño

$E^{n}-F^{n}=(E-F)(E^{n-1}+E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}+\cdots +EF^{n-2}+F^{n-1})$

Isto é un exemplo mostrando que os factores poden ser moito máis grande que a suma que é factorized.

• Suma, expoñente estraño

$E^{n}+F^{n}=(E+F)(E^{n-1}-E^{n-2}F+E^{n-3}F^{2}-\cdots -EF^{n-2}+F^{n-1})$

(Obtido por cambiante F por –F na fórmula de preceder)

• Suma, expoñente uniforme

Se o expoñente é un poder de dous entón a expresión pode non, en xeral, ser factorizado sen presentar números complexos (se E e F conter números complexos, isto pode ser non o caso). S n ten un estraño divisor, que é se n = n = pq con estraño, un pode utilizar a órmula de preceder (en “Suma, expoñente estraño”) aplicou a $(E^{q})^{p}+(F^{q})^{p}.$

• Trinomiais e fórmulas cúbicas

${\begin{aligned}x^{2}+y^{2}+z^{2}+2(xy+yz+xz)\,&=(x+y+z)^{2}\\x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz\,&=(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-xz-yz)\\x^{3}+y^{3}+z^{3}+3x^{2}(y+z)+3y^{2}(x+z)+3z^{2}(x+y)+6xyz\,&=(x+y+z)^{3}\\x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\,&=(x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2}).\end{aligned}}$

• Expansións binomiais

Visualisación De binomial expansión até o 4.º poder

O teorema do binomial patróns de subministracións que facilmente poden ser recoñecido desde o enteiros que aparecen neles

En grao baixo:

$a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}$

$a^{2}-2ab+b^{2}=(a-b)^{2}$

$a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}=(a+b)^{3}$

$a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}=(a-b)^{3}$

Máis xeralmente, os coeficie$(a+b)^{n}$tes das formas expandidas de ( un

Raíces de unidade

$e^{2ik\pi /n}=\cos {\frac {2\pi }{n}}+i\sin {\frac {2\pi }{n}}$

Para

$k=0,\ldots ,n-1.$

Segue que para calquera dúas expresións E e F, un ten:

$E^{n}-F^{n}=(E-F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E-Fe^{2ik\pi /n}\right)$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k=0}^{n-1}\left(E-Fe^{(2k+1)\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is even}}$

$E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E+Fe^{2ik\pi /n}\right)\qquad {\text{if }}n{\text{ is odd}}$

Se E e F é expresións reais, e un quere factores reais, un ten que substituír cada par de complexo conxugar factores polo seu produto. Cando o complexo conxuga dE$e^{i\alpha }$$e^{-i\alpha },$

$\left(a-be^{i\alpha }\right)\left(a-be^{-i\alpha }\right)=a^{2}-ab\left(e^{i\alpha }+e^{-i\alpha }\right)+b^{2}e^{i\alpha }e^{-i\alpha }=a^{2}-2ab\cos \,\alpha +b^{2},$

Un ten – k o seguinte real factorizacións (#un pases desde un ao outro por cambiante k a n – n – k ou n + 1 n – k k, e aplicando o habitual trigonometric fórmulas:

${\begin{aligned}E^{2n}-F^{2n}&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\frac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\\&=(E-F)(E+F)\prod _{k=1}^{n-1}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\frac {k\pi }{n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}E^{2n}+F^{2n}&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}+2EF\cos \,{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\\&=\prod _{k=1}^{n}\left(E^{2}-2EF\cos \,{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}+F^{2}\right)\end{aligned}}$

O coseno que aparece nestes factorizacións é alxébrico números, e pode ser expresado en termos de radicais (isto é posíbel porque o seu grupo de Galois é cíclico); con todo, estas expresións radicais son demasiado complicadas para ser utilizadas, excepto valores baixos de n. Por exemplo

$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2}}ab+b^{2}).$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

$a^{5}-b^{5}=(a-b)\left(a^{2}-{\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right)\left(a^{2}-{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}ab+b^{2}\right),$

A miúdo un quere un factorización con coeficientes racionais. Tal factorización implica polinomios ciclotómicos. Para expresar factorizacións racional de sumas e diferenzas ou poderes, ecesitamos u otatio para a homoxeneización d polinomio: se $P(x)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$a súa homoxeneización é o bivariate polinomio

P ${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.$

Entón, un ten${\overline {P}}(x,y)=a_{0}x^{n}+a_{i}x^{n-1}y+\cdots +a_{n}y^{n}.$

$E^{n}-F^{n}=\prod _{k\mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

$E^{n}+F^{n}=\prod _{k\mid 2n,k\not \mid n}{\overline {Q}}_{n}(E,F),$

Onde os produtos so2n tomados sobre todo divisores de n, ou todo divisores de 2n $Q_{n}(x)$ue non dividen n, e Q n ( $Q_{n}(x)$ ) {\displaystyle Q_{n}(x)} é o n-ésimo polinomio ciclotómico.$Q_{n}(x)$

$a^{6}-b^{6}={\overline {Q}}_{1}(a,b){\overline {Q}}_{2}(a,b){\overline {Q}}_{3}(a,b){\overline {Q}}_{6}(a,b)=(a-b)(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})(a^{2}+ab+b^{2}),$

$a^{6}+b^{6}={\overline {Q}}_{4}(a,b){\overline {Q}}_{12}(a,b)=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{2}),$

Xa que o divisores de 6 é 1, 2, 3, 6, e o divisores de 12 que non divide 6 é 4 e 12.

polinomios

Para polinomios, factorización é fortemente relacionada co problema de solucionar ecuacións alxébricas. Unha ecuación alxébrica ten a forma

$P(x)=0,$

Onde

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n},$

Onde P(P(x)) é un polinomio en x, tal que

$a_{0}\neq 0.$

0

$a_{0}\neq 0.$ $a_{0}\neq 0.$. {\displaystyle Un_{0}\neq 0.} Unha solución desta ecuación (raíz chamada tamén do polinomio) é un valor r de x tal aquilo$a_{0}\neq 0.$

$P(r)=0.$

Se

$P(x)=Q(x)R(x)$

É un factorización de P como produto de dous polinomios, entón as raíces de P é a unión das raíces de Q e as raíces de R. Así solucionando P é reducido aos problemas máis sinxelos de solucionar Q e R.

Inversamente, o factor teorema afirma que, se r é unha raíz de P, entón P pode ser factorizado cando

$P(x)=(x-r)Q(x),$

Onde Q(Q(x)) é o cociente de Euclidean división de P pox – r x x – r r.

Se os coeficientes de P é números reais ou complexos, o fundamental teorema de álxebra afirma que P ten unha raíz real ou complexa. Utilizando o factor teorema recursively, resulta aquilo

$P(x)=a_{0}(x-r_{1})\cdots (x-r_{n}),$

O$r_{1},\ldots ,r_{n}$} É as raíces reais ou complexas de P, con algúns deles posibelmente repetiron. Este completo factorización é único até o encargo dos factores.

Se os coeficientes de P é real, un quere xeralmente un factorización onde os factores teñen coeficientes reais. Neste caso, os factores do completo factorización pode ter algúns factores que teñen o grao dous. Este factorización facilmente pode ser forma deducida o encima completo factorización. De feito, s = a - ibe r = a + ib = un r = a + ib ib é r = a + ibha raíz non real de P, entón o seu complexo conxuga s = un s = a - ib r = a + ib é tamén unha raíz de P. Tan, o produto

$(x-r)(x-s)=x^{2}-(r+s)x+rs=x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}$

É un factor de P que ten coeficientes reais. Esta agrupación de factores non reais pode ser continuada até conseguir finalmente un factorización con factores reais que son polinomios de graos un ou dous.

Para computar estes real ou complexo factorizacións, un ten que saber as raíces do polinomio. En xeral, non poden ser computados exactamente, e único approximative os valores das raíces poden ser obtidos. Ve algoritmo que atopa Raíz para un resumo dos algoritmos eficientes numerosos que foron deseñado para este propósito.

A maioría de alxébrico ecuacións que son atopadas na práctica ha enteiro ou coeficientes racionais, e un pode querer un factorización con factores da mesma clase. O fundamental teorema de aritmética pode ser xeneralizado a este caso. Aquilo é, polinomios con enteiro ou os coeficientes racionais teñen o único factorización propiedade. Máis precisamente, cada polinomio cos coeficientes racionais poden ser factorizado nun produto

$P(x)=q\,P_{1}(x)\cdots P_{k}(x),$

Onde q é un número raconal e $P_{1},\ldots ,P_{k}$É non-constante polinomios con enteiro coeficientes que son irreducível e primitivo; isto significa que ningún $P_{i}$Pode ser escrito como o produto dous polinomios (con enteiro coeficientes) que son tampouco 1 nin –1 (enteiros é considerado tan polinomios de grao cero). Ademais, este factorización é único até o encargo dos factores e a multiplicación por –1 dun número uniforme de factores.

Hai algoritmos eficientes para computar este factorización, os cales son aplicados na maioría de computador álxebra sistemas. Ve factorización de polinomios. Desafortunadamente, para un papel-e-lapis computación, estes algoritmos son tamén complicar para ser usável. Xunto a xeral heuristics que é descrita encima, só uns cantos métodos son dispoñíbeis neste caso, os cales xeralmente traballan só para polinomios de grao baixo, con poucos non nulo coeficientes. O principal tales métodos son descritos en próximo subseccións.

Contido de parte–primitiva factorización

Cada polinomio con coeficientes racionais, pode ser factorized, nun xeito único, cando o produto dun número racional e un polinomio con enteiro coeficientes, o cal é primitivo (aquilo é, o máis grande común divisor dos coeficientes é 1), e ten un coeficiente principal positivo (coeficiente do termo do grao máis alto). Por exemplo:

$-10x^{2}+5x+5=(-5)\cdot (2x^{2}-x-1)$

${\frac {1}{3}}x^{5}+{\frac {7}{2}}x^{2}+2x+1={\frac {1}{6}}(2x^{5}+21x^{2}+12x+6)$

Neste factorización, o número racional é chamado o contido, e o primitivo polinomio é a parte primitiva. O computación deste factorización pode ser feito cando segue: en primeiro lugar, reducir todos os coeficientes a un denominador común, para conseguir o cociente por un enteiro q dun polinomio con enteiro coeficientes. Entón un divide fóra do máis grande común divisor p dos coeficientes deste polinomio para conseguir a parte primitiva, o ser de contido $p/q.$Finalmente, se necesitado, un muda os sinais de p e todos os coeficientes da parte primitiva.

Este factorización pode producir un resultado que é máis grande que o orixinal polinomio (tipicamente cando hai moitos coprime denominadores), mais, mesmo cando isto é o caso, a parte primitiva é xeralmente máis fácil de manipular para máis afastado factorización.

Utilizando o factor teorema

Artigo principal: Teorema do factor.

O teorema do factor expón que, se r é raíz dun polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{0}$

(Aquilo é P(r) = 0 ), entón hai un factorización

$P(x)=(x-r)Q(x),$

Onde

$Q(x)=b_{0}x^{n-1}+\cdots +b_{n-2}x+b_{n-1},$

Con

$a_{0}=b_{0},$ E

$b_{i}=a_{0}r^{i}+\cdots +a_{i-1}r+a_{i}$

Para i = 1, ..., n – 1

Isto pode ser útil cando, calquera por inspección, ou por utilizar algúns información externa, un sabe unha raíz do polinomio. Para informática Q(x), en vez de utilizar o por riba de fórmula, un tamén pode utilizar polinomio división longa ou división sintética.

Por exemplo, para o polinomio

$x^{3}-3x+2,$

Un facilmente pode ver que a suma dos seus coeficientes é 1. Por = 1 isto r = 1 é unha raíz. Cando r + 0 = 1, e

$r^{2}+0r-3=-2,$

Un ten

$x^{3}-3x+2=(x-1)(x^{2}+x-2).$

Raíces racionais

Buscando raíces racionais dun polinomio ten sentido só para polinomios con coeficientes racionais. Parte primitiva-contido factorización (ve por riba de) reduce o problema de buscar raíces racionais ao caso de polinomios con enteiro coeficientes tal que o máis grande común divisor dos coeficientes é un,

Se

${\frac {p}{q}}$É unha raíz racional de tal polinomio

$P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n},$

O factor teorema mostra que un ten un factorización

$P(x)=(qx-p)Q(x),$

Onde ambos os dous factores haber enteiro coeficientes (o feito que Q ha enteiro resultados de coeficientes desde o P(x)or riba de fórmula para o cociente de P(P(x)) por x

$x-p/q$

Comparando os coeficientes de grao n e os coeficientes constantes no or riba de espectáculos de igualdade que, se ${\frac {p}{q}}$

É unha raíz racional en forma reducida, entón q é $a_{0},$ divisor dun

$a_{0},$

, {$a_{n}.$ $a_{0},$un_{0},} E p é un divisor dun n . {\displaystyle Un_{n}.${\frac {p}{q}}$$a_{0},$} Por tanto hai un número finito de posibilidades para p e q, os cales poden ser sistematicamente examinou.$a_{n}.$

Por exemplo, se o polinomio

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6$

Ten unha raíz racional $p/q,$/Entón p ter ue divide 6, que é $p\in \{\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6\},$, {$q\in \{1,2\}.$ Ademais, se x < 0 x < 0, todos os termos do polinomio é negativo, e, por tanto, unha raíz non pode ser negativa.$q\in \{1,2\}.$ Aquilo é, un ten que ter

${\frac {p}{q}}\in \{1,2,3,6,{\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\}.$

Un directo computación mostra que ${\frac {3}{2}}$É unha raíz, e que hai non outra raíz racional. Aplicando o factor teorema lidera finalmente ao factorización

$2x^{3}-7x^{2}+10x-6=(2x-3)(x^{2}-2x+2).$

Para polinomios cadráticos, o por riba do método pode ser adaptado, liderando ao tan chamado ac método de factorización.

AC method

Deixado considerar o polinomio cadrático

$ax^{2}+bx+c$

Con enteiro coeficientes. Se ten aha raíz racional, o seu denominador ten que divide un equitativamente. Tan, pode se${\frac {r}{a}}.$ escrito como posibelmente reducível fracción

${\frac {r}{a}}.$Por Vieta fórmulas, a outra raíz é${\frac {r}{a}}.$

$-{\frac {b}{a}}-{\frac {r}{a}}=-{\frac {b+r}{a}}={\frac {s}{a}},$

Con $s=-(b+r).$Por isto a segunda raíz é tamén racional, e o segundo Vieta a fórmula dá

${\frac {s}{a}}{\frac {r}{a}}={\frac {c}{a}},$

Aquilo é

$rs=ac\quad {\text{and}}\quad r+s=-b.$

Comprobando todos os pares de enteiros cuxo produto é ac dá as raíces racionais, se algún.

Por exemplo, deixado considerar o polinomio cadrático

Inspección dos fac = 36tores de ac = 36 vantaxes a 4 + 9 = 13 = 4 + 9 = 13 = b, dando as dúas raíces

$-{\frac {4}{6}}=-{\frac {2}{3}}\quad {\text{and}}\quad -{\frac {9}{6}}=-{\frac {3}{2}},$

E o factorización

${\begin{aligned}6x^{2}+13x+6&=6(x+{\frac {2}{3}})(x+{\frac {3}{2}})\\&=(3x+2)(2x+3).\end{aligned}}$

Utilizando fórmulas para polinomio raíces

alquera ivariate polinomio cadrático

$ax^{2}+bx+c$

Pode ser factorizado utilizando o quadratic fórmula:

$ax^{2}+bx+c=a(x-\alpha )(x-\beta )=a\left(x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right)\left(x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\right),$

Onde

$\alpha$

E

$\beta$

É as dúas raíces do polinomio.

Se un, b, c é todo real, os fatores son reais se e só se o discriminant

$b^{2}-4ac$

É non-negativo. Doutro xeito, o polinomio cadrático non pode ser factorizadoa non-factores reais constantes.

O quadratic a fórmula é válida cando os coeficientes pertencen a calquera corpo de característico diferente desde dous, e, en particular, para coeficientes nun corpo finito cun número estraño de elementos.

hai tamén fórmulas para raíces de cúbico e quartic polinomios, os cales son, en xeral, tamén complicado para uso práctico. O Abel–Ruffini teorema mostra que hai non fórmulas de raíz xeral en termos de radicais para polinomios de grao cinco ou máis alto.

Using relations between roots

Pode ocorrer que un sabe algunha relación entre as raíces dun polinomio e os seus coeficientes. Utilizando este coñecemento pode axudar factoring o polinomio e atopando as súas raíces. Galois A teoría é baseada nun estudo sistemático das relacións entre raíces e coeficientes, que inclúen Vieta fórmulas.

Aquí, consideramos o caso máis sinxelo onde dúas raíces

$x_{1}$

E

$x_{2}$

Dun polinomio $P(x)$Satisfacer a relación

$x_{2}=Q(x_{1}),$

Onde Q é un polinomio.

Isto implica ue

$x_{1}$É unha raíz común de $P(x).$$P(Q(x))$O seu é por tanto unha raíz do máis grande común divisor destes dous polinomios. Segue que este máis grande común divisor é un factor non constante de $P(x).$

Euclidean Algoritmo para polinomios deixa computar este factor común máis grande.$P(x).$

Por exemlo, se un sabe ou adiviñar aquilo:

$P(x)=x^{3}-5x^{2}-16x+80$Ten dúas raíces que suman a cero, un pode aplicar Euclidean algoritmo a $P(x)$e $P(-x).$ O primeiro paso de división consiste en engadir$P(x)$ $P(-x),$Dando o remainder de

$-10(x^{2}-16).$

Entón, dividindo $P(x)$por $x^{2}-16$

Dá cero como novo remainder, e x x – 5 como cociente, liderando ao completo factorización$P(x)$$x^{2}-16$

Unique factorización dominios

O enteiros e o polinomios sobre un corpo comparte a propiedade de único factorización, que é, cada non nulo o elemento pode ser factorizadoa un produto dun invertível elemento (unha unidade, ±1 no caso de enteiros) e un produto de irreducível elementos (números primos, no caso de enteiros), e este factorización é único até rearranging os factores e movendo unidades entre os factores. Dominios integrais que comparten esta propiedade é chamada única factorización dominios (UFD).

Máis grande común divisores existir en UFDs, e inversamente, cada dominio integral en que máis grande común divisores existe é un UFD. Cada dominio ideal principal é un UFD.

Un Euclidean o dominio é un dominio integral no cal é definido un Euclidean a división similar a aquilo de enteiros. Cada Euclidean o dominio é un dominio ideal principal, e por isto un UFD.

Nun Euclidean dominio, Euclidean a división deixa definir un Euclidean algoritmo para computar máis grande común divisors. Con todo estas cervas non implican a existencia dun factorización algoritmo. Hai un exemplo explícito dun corpo F tal que alí non pode existir calquera factorización algoritmo no Euclidean dominio F[x] do univariate polinomios sobre F.

Ideais

En teoría de números alxébricos, o estudo de ecuacións diofantianas guiou os matemáticos, durante o século XIX, até chegaren a introducir as xeneralizacións dos enteiros chamados enteiros alxébricos. Os primeiros aneis de enteiros alxébricos estudados teñen sido o anel que considera os enteiros gaussianos e o que considera os enteiros de Eisenstein. Estas dúas clases de enteiros alxébricos comparten cos enteiros tradicionais a propiedade de ser dominios de ideais principais, e ter así a propiedade de factorización única.

Desafortunadamente, axiña se demostrou que a maioría de aneis de enteiros alxébricos non son principais e non teñen factorización única. Deles, o exemplo máis sinxelo é ${\mathbb {Z}}[{\sqrt {-5}}],$ en que

$9=3\cdot 3=(2+{\sqrt {-5}})(2-{\sqrt {-5}}),$

e todos estes factores son irredutíbeis.

A carencia de factorización única é unha gran dificultade para solucionar ecuacións diofantianas. Por exemplo, moitas probas incorrectas do Último Teorema de Fermat (probabelmente incluíndo a demostración de Fermat de "teño unha proba verdadeiramente marabillosa disto, mais esta marxe é demasiado estreita para contela") foron baseadas na suposición implícita dunha única factorización.

Dedekind resolveu esta dificultade, quen probou que os aneis de enteiros alxébricos teñen unha única factorización de ideais: nestes aneis, todo ideal é un produto de ideais primos, e esta factorización é única levado a orde dos factores. Os dominios integrais que teñen esta propiedade de factorización única son chamados dominios de Dedekind. Teñen moitas propiedades agradábeis que lles fan fundamentais en teoría de número alxébricos.

Matrices

Artigo principal: Descomposición de matrices.

Os aneis de matrices son non conmutativos e non teñen unha única factorización: hai, en xeral, moitos xeitos de escribir unha matriz como produto de matrices. Así, o problema da factorización muda a consistir no problema de atopar factores de certas formas específicas. Por exemplo, a descomposición LU factoriza unha matriz como o produto dunha matriz triangular inferior e mais unha matriz triangular superior. As veces non é sempre posíbel, polo que se considera a "descomposición LUP" tendo unha matriz permutación como o terceiro factor.

Unha matriz lóxica representa un relación binaria, e multiplicación de matrices corresponde á composición de relacións. A descomposición dunha relación factorizándoa serve para percibir mellor a natureza da relación, como no caso dunha relación difuncional