Cono

Para o froito das coníferas, ver artigo piña

Exemplo de cono.

En xeometría, un cono recto é un sólido de revolución xerado polo xiro dun triángulo rectángulo arredor dun dos seus catetos. O círculo conformado polo outro cateto denomínase base e o punto onde conflúen as xeratrices denomínase vértice.

A xeratriz dun cono é cada un dos segmentos cuxos extremos son o vértice e un punto da circunferencia da base.

A altura dun cono é a distancia do vértice ao plano da base. Nos conos rectos será a distancia do vértice ao centro da circunferencia da base.

Clasificación

Cono recto e cono oblicuo.

• Cono recto, se o vértice equidista da base circular.
• Cono oblicuo, se o vértice non equidista da súa base.
• Cono elíptico, se a base é unha elipse. Poden ser rectos ou oblicuos.

Propiedades

Área da superficie cónica

A área $A\,$ da superficie do cono recto é:

$A=A_{Base}+A_{Lateral}=\pi r^{2}+\pi rg\,\!$

onde r é o radio da base e g a lonxitude da xeratriz do cono recto.

A xeratriz dun cono recto equivale á hipotenusa do triángulo rectángulo que conforma a altura do cono e o radio da base; sendo entón a súa lonxitude $g={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$.

Desenvolvemento dun cono recto

Desenvolvemento do cono.

O desenvolvemento plano dun cono recto é un sector circular e un círculo.

O sector circular está delimitado por dúas xeratrices, sendo a medida do lado curvo igual á lonxitude da circunferencia da base.

A forma de calcular a distancia a no desenvolvemento é coa ecuación de $a={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}\,$

onde r é o radio da base e h é a altura do cono.

O ángulo que está sombreado na figura calcúlase coa seguinte fórmula:

$\mathrm {{\acute {a}}ngulo} =360(r/a)\,$.

Volume dun cono

O volume $V\,$ dun cono de radio $r\,$ e altura $h\,$ é 1/3 do volume do cilindro que posúe as mesmas dimensións:

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}\,\!$

A ecuación obtense mediante $\int _{0}^{h}A(x)dx\,\!$,

onde $A(x)\,$ é a área da sección perpendicular á altura, con relación á altura $h$, neste caso $A(x)=\pi \left({\frac {rx}{h}}\right)^{2}$.

Cono oblicuo

Seccións dun cono recto e un cono oblicuo de base circular.

Un cono oblicuo é aquel cono cuxo eixe de revolución non é perpendicular á súa base.

Poden ser de dous tipos: de base circular ou de base elíptica. O de base elíptica é o corpo xeométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo ao seu eixe de revolución.

A base é un círculo ou unha elipse, e a altura é o segmento que contén o vértice, sendo perpendicular ao plano da base; pero non é coincidente co eixe do cono.

Superficie

A superficie lateral dun cono oblicuo é un triángulo curvilíneo, con dúas xeratrices por lados e base semi-elíptica.

A superficie da base dun cono oblicuo é un círculo ou unha elipse.

Volume

A ecuación empregada para calcular o volume dun cono oblicuo de base circular é similar á do cono recto:

$V={\frac {\pi \cdot r^{2}\cdot h}{3}}$

onde r é o radio da base e h a altura do cono oblicuo.

A ecuación do volume dun cono oblicuo de base elíptica é:

$V={\frac {\pi \cdot a\cdot b\cdot h}{3}}$

sendo a e b os semieixes da elipse e h a altura do cono oblicuo.

A xustificación das dúas fórmulas anteriores baséase no principio de Cavalieri, cuxo enunciado é o seguinte:

"Se dous corpos teñen a mesma altura e ademais teñen igual área nas súas seccións planas realizadas a unha mesma altura, posúen entón igual volume."

Seccións cónicas

Distintas seccións cónicas.

Artigo principal: Sección cónica.

Ao cortar cun plano unha superficie cónica, obtéñense distintas figuras xeométricas: as seccións cónicas. Dependendo do ángulo de inclinación e a posición relativa, poden ser: circunferencias, elipses, parábolas e hipérboles.

Se o plano pasa polo vértice a intersección poderá ser: unha recta, un par de rectas cruzadas ou un punto (o vértice).

As curvas cónicas son importantes en astronomía: dous corpos masivos que interactúan segundo a lei universal da gravitación, describen órbitas similares a seccións cónicas: elipses, hipérboles ou parábolas en función das súas distancias, velocidades e masas.

Tamén son moi útiles en aerodinámica e outras aplicacións industriais, xa que permiten ser reproducidas por medios simples con grande exactitude, logrando volumes, superficies e curvas de gran precisión.

Ecuación en coordenadas cartesianas

Superficie cónica.

En xeometría analítica e xeometría diferencial, o cono é o conxunto de puntos do espazo que verifican, respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, unha ecuación do tipo:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0\,$

Este conxunto tamén coincide coa imaxe da función:

$X(\theta ,t)=(a\cdot t\cdot \cos(\theta ),b\cdot t\cdot \sin(\theta ),c\cdot t),\,$

que é chamada parametrización do cono.

Por exemplo, no caso que a = b (non nulos), este conxunto é obtido a partir de rotar a recta $(t,0,{\frac {c\,t}{a}})\,$ respecto ao eixe z, e por iso é chamada parametrización de revolución.

O cono non é unha superficie regular, pois posúe unha singularidade: o seu vértice; quitándoo convértese nunha superficie regular disconexa e aberta. Entre as súas características, podemos destacar que é unha superficie regrada (é dicir que se pode xerar polo movemento dunha recta), e é desenvolvible, é dicir, que se pode despregar sobre un plano; tecnicamente isto exprésase dicindo que a súa curvatura gaussiana é nula (como no plano ou o cilindro).

Véxase tamén

Outros artigos

• Tronco
• Tronco de cono
• Sección cónica
• Esferas de Dandelin
• Cuádricas

Ligazóns externas

• Cono en MathWorld (en inglés)
• Cono xeneralizado en MathWorld (en inglés)
• Seccións cónicas (en castelán)