Base (álxebra linear): Diferenzas entre revisións
Traduzo de es.wiki |
Sigo tradución |
||
Liña 8: | Liña 8: | ||
== Lema de Zorn == |
== Lema de Zorn == |
||
Mediante o uso do [[lema de Zorn]], é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun |
Mediante o uso do [[lema de Zorn]], é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun mesmo espazo vectorial teñen a mesma [[cardinalidade]]. Por ser así, esa cardinalidade chámase [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] do espazo vectorial. |
||
Outras propiedades, consecuencias do [[lema de Zorn]]: |
Outras propiedades, consecuencias do [[lema de Zorn]]: |
||
Liña 15: | Liña 15: | ||
<!-- |
<!-- |
||
== Observaciones adicionales == |
== Observaciones adicionales == |
||
# Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan |
# Las bases son conjuntos ordenados. Es decir que si bien {a,b,c} y {b,a,c} generan o mesmo espazo vectorial, las bases no son iguales. |
||
# Dado un [[vector]] ''v'' e unha base B de un espazo vectorial V, existe unha única manera de escribir ''v'' como [[combinación lineal]] de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector nunha base é única. |
# Dado un [[vector]] ''v'' e unha base B de un espazo vectorial V, existe unha única manera de escribir ''v'' como [[combinación lineal]] de los elementos de la base B. Es decir, la representación de un vector nunha base é única. |
||
# De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un |
# De la observación anterior se desprende que las bases no son únicas. En general, suele haber infinitas bases distintas para un mesmo espazo vectorial. Por ejemplo, si <math>V=\mathbb{R}^3</math>, unha base moi simple de ''V'' es: |
||
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}} |
{{Ecuación|<math>\mathcal{B}=\{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\}</math>||left}} |
||
la cual es conocida como base canónica de <math>\mathbb{R}^3</math>. |
la cual es conocida como base canónica de <math>\mathbb{R}^3</math>. |
||
Liña 23: | Liña 23: | ||
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \mathcal{B}'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\ |
{{Ecuación|<math>\begin{cases} \mathcal{B}'=\{(2,0,0); (0,1,0); (0,0,1)\} \\ |
||
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} </math>||left}} |
\mathcal{B}''=\{(1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)\} \\ \mathcal{B}'''=\{(504,0,0); (0,7,0); (0,0,1/2)\} \end{cases} </math>||left}} |
||
En xeral, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a <math>\mathbb{R}^3</math>. Cuando el espazo vectorial en |
En xeral, toda base de <math>\mathbb{R}^3</math> estará formada por tres vectores linealmente independientes que pertenezcan a <math>\mathbb{R}^3</math>. Cuando el espazo vectorial en si mesmo é un conjunto finito entonces el número de bases distintas es finito. |
||
# Si V es un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos. |
# Si V es un espazo vectorial de [[Dimensión dun espazo vectorial|dimensión]] finita, entonces todas las bases de V serán finitas y tendrán la misma cantidad de elementos. |
||
# No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espazo vectorial de los polinomios dunha variable tienen infinitos elementos. Unha base posible é a formada por las potencias de X: <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math> |
# No todas las bases tienen un número finito de elementos. Por ejemplo, las bases del espazo vectorial de los polinomios dunha variable tienen infinitos elementos. Unha base posible é a formada por las potencias de X: <math>\mathcal{B} =\{1, X, X^2, X^3,\dots \}</math> |
||
Liña 52: | Liña 52: | ||
</li> |
</li> |
||
<li> |
<li> Aplícase o mesmo a outro tipo de espazos, por ejemplo, polinomios de grado 3. Consideremos el subespazo <math>P = \{ax^3+bx^2+cx+d : a-b=0\land 3c+d=0\}</math>. Expresamos las ecuaciones así |
||
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}b&=&a \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} lo cual implica que el subespazo está conformado por los polinomios de la forma |
{{Ecuación|1= <math>\left\{\begin{array}{lcr}b&=&a \\ d&=&-3c\end{array}\right.</math>}} lo cual implica que el subespazo está conformado por los polinomios de la forma |
||
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> é unha base do espazo ''P''. |
{{Ecuación|1=<math>p(x) = a x^3 + a x^2 + cx - 3c = a (x^3 + x^2) + c (x-3)</math>.}} Por lo tanto, <math>\{x^3 + x^2, x - 3\}</math> é unha base do espazo ''P''. |
||
Liña 68: | Liña 68: | ||
== Espazos de dimensión infinita == |
== Espazos de dimensión infinita == |
||
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na [[análise funcional]] compre sinalar algunhas distincións. |
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na [[análise funcional]] compre sinalar algunhas distincións. |
||
<!-- |
|||
=== Bases de Hamel y de Hilbert === |
=== Bases de Hamel y de Hilbert === |
||
Nun espazo vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de estender o concepto de [[combinación linear]] finita. Dun lado se se consideran unicamente [[combinación linear|combinacións lineares]] finitas chégase ao concepto de [[base de Hamel]] ou base linear. Pode probarse que todas as bases de Hamel teñen o mesmo número de elementos; este número ou [[Número cardinal|cardinal]] chámase dimensión linear ou dimensión de Hamel. Un conxunto constitúe unha base de Hamel [[se e só se]]: |
|||
<br /> |
|||
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math> |
:<math>B_{\rm Ham}:\mbox{base de Hamel} \Rightarrow </math> |
||
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i</math> |
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{\rm Ham}: \quad x = \sum_{i=1}^N \lambda_i x_i</math> |
||
<br /> |
|||
Nun espazo de dimensión de Hamel finita, pode atoparse só un número finito de [[ortogonal|vectores ortogonais]] dous a dous; en cambio, cando a dimensión de Hamel é infinita, poden introducirse nos [[espazo de Hilbert|espazos de Hilbert]] certas "combinaciones lineares infinitas" en termos de vectores ortogonais. Nun espazo de Hilbert de dimensión infinita dise que un conxunto é unha base de Hilbert ou base ortogonal, se e só se: |
|||
<br /> |
|||
:<math>B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow</math> |
:<math>B_{\rm Hil}:\mbox{base de Hilbert} \Rightarrow</math> |
||
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \and \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i</math> |
:<math>\exists \lambda_i \in \mathbb{K} \quad \and \quad \exists x_i \in B_{Hil} \quad \and \quad \langle x_i,x_j \rangle = 0 (i \ne j): \quad x = \sum_{i=1}^\infty \lambda_i x_i</math> |
||
<br /> |
|||
Novamente sucede que todas as bases ortogonais teñen o mesmo cardinal, polo que se define o concepto de dimensión de Hilbert como o cardinal de calquera base de Hilbert. |
|||
=== Dimensión vectorial === |
=== Dimensión vectorial === |
||
[[Ficheiro:Vecteur bases ond et qcq.png|miniatura]] |
[[Ficheiro:Vecteur bases ond et qcq.png|miniatura]] |
||
A dimensión dun espazo vectorial |
A dimensión dun espazo vectorial defínese como o número de elementos ou cardinal dunha base dese espazo. Dado que para todo espazo de Hilbert de dimensión infinita pode distinguirse entre bases de Hilbert e de Hamel, pódese definir a dimensión vectorial ordinaria e a dimensión vectorial de Hilbert. Tense que para calquera espazo vectorial ''V'', a relación entre dimensión de Hammel e dimensión de Hilbert é: |
||
{{Ecuación|<math>\dim_{\rm Ham} V \ge \dim_{\rm Hil} V</math>|1|left}} |
{{Ecuación|<math>\dim_{\rm Ham} V \ge \dim_{\rm Hil} V</math>|1|left}} |
||
En espazos de dimensión finita |
En espazos de dimensión finita tamén se poden definir as bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonais. De feito, para un espazo de dimensión finita, a dimensión de Hilbert é igual á dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel é base de Hilbert e viceversa, polo que para un espazo de dimensión finita en {{Eqnref|1}} dáse sempre a igualdade. |
||
--> |
|||
== Notas == |
== Notas == |
||
{{listaref|grupo=Nota}} |
{{listaref|grupo=Nota}} |
||
== Véxase |
== Véxase tamén == |
||
=== Bibliografía === |
|||
* {{cita libro| last1=Blass | first1=Andreas | title=Axiomatic set theory | publisher=[[American Mathematical Society]] | location=Providence, R.I. | series=Contemporary Mathematics volume 31 | mr=763890 | year=1984 | chapter=Existence of bases implies the axiom of choice | pages=31–33|isbn=0-8218-5026-1}} |
|||
* {{cita libro| last1=Brown | first1=William A. | title=Matrices and vector spaces | publisher=M. Dekker | location=New York | isbn=978-0-8247-8419-5 | year=1991}} |
|||
* {{cita libro| last1=Lang | first1=Serge | author1-link=Serge Lang | title=Linear algebra | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, Nova York | isbn=978-0-387-96412-6 | year=1987}} |
|||
=== Outros artigos === |
=== Outros artigos === |
||
* [[Método de ortogonalización de Gram-Schmidt]] |
* [[Método de ortogonalización de Gram-Schmidt]] |
Revisión como estaba o 5 de xaneiro de 2018 ás 16:01
Esta páxina ou sección está a editarse nestes intres. Para evitar posibles conflitos de edición, non edites esta páxina ou sección mentres vexas esta mensaxe. Revisa o historial de edicións para saber quen traballa nela. O usuario Jglamela (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 6 anos. O tempo máximo de presenza deste marcador é dun mes dende a última edición do usuario que o puxo; pasado ese tempo debe retirarse. |
Na álxebra linear, unha base é un conxunto B do espazo vectorial V se se cumpren as seguintes condicións:
- Todos os elementos de B pertencen ao espazo vectorial V.
- Os elementos de B forman un sistema linearmente independiente.
- Todo elemento de V pode escribirse como combinación linear dos elementos da base B (é dicir, B é un sistema xerador de V).[Nota 1]
Lema de Zorn
Mediante o uso do lema de Zorn, é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun mesmo espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade. Por ser así, esa cardinalidade chámase dimensión do espazo vectorial.
Outras propiedades, consecuencias do lema de Zorn:
- Todo sistema xerador dun espazo vectorial contén unha base vectorial (de Hamel).
- Todo conxunto linearmente independente nun espazo vectorial, pode ser estendido a unha base.
Espazos de dimensión finita
Un espazo de dimesión finita é todo aquel xerado por un conxunto finito de vectores. Neste caso pode definirse a dimensión do espazo como o cardinal do conxunto de vectores que constitúe a base.
Os subespazos dun espazo vectorial de dimensión finita tamén teñen, polo menos, unha base, de dimensión menor á do espazo no que están contidos. Por exemplo, unha recta homoxénea no plano, é dicir que pasa pola orixe determinado neste, ten dimensión un, por ser a súa base un único vector. Evidentemente, esta dimensión é menor cá do plano na que a recta está contida.
Espazos de dimensión infinita
No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na análise funcional compre sinalar algunhas distincións.
Bases de Hamel y de Hilbert
Nun espazo vectorial de Hilbert de dimensión infinita existen varias posibilidades de estender o concepto de combinación linear finita. Dun lado se se consideran unicamente combinacións lineares finitas chégase ao concepto de base de Hamel ou base linear. Pode probarse que todas as bases de Hamel teñen o mesmo número de elementos; este número ou cardinal chámase dimensión linear ou dimensión de Hamel. Un conxunto constitúe unha base de Hamel se e só se:
Nun espazo de dimensión de Hamel finita, pode atoparse só un número finito de vectores ortogonais dous a dous; en cambio, cando a dimensión de Hamel é infinita, poden introducirse nos espazos de Hilbert certas "combinaciones lineares infinitas" en termos de vectores ortogonais. Nun espazo de Hilbert de dimensión infinita dise que un conxunto é unha base de Hilbert ou base ortogonal, se e só se:
Novamente sucede que todas as bases ortogonais teñen o mesmo cardinal, polo que se define o concepto de dimensión de Hilbert como o cardinal de calquera base de Hilbert.
Dimensión vectorial
A dimensión dun espazo vectorial defínese como o número de elementos ou cardinal dunha base dese espazo. Dado que para todo espazo de Hilbert de dimensión infinita pode distinguirse entre bases de Hilbert e de Hamel, pódese definir a dimensión vectorial ordinaria e a dimensión vectorial de Hilbert. Tense que para calquera espazo vectorial V, a relación entre dimensión de Hammel e dimensión de Hilbert é:
(1)
En espazos de dimensión finita tamén se poden definir as bases de Hilbert como bases de Hamel ortogonais. De feito, para un espazo de dimensión finita, a dimensión de Hilbert é igual á dimensión de Hamel. En dimensión finita toda base de Hamel é base de Hilbert e viceversa, polo que para un espazo de dimensión finita en (
) dáse sempre a igualdade.Notas
Véxase tamén
Bibliografía
- Blass, Andreas (1984). "Existence of bases implies the axiom of choice". Axiomatic set theory. Contemporary Mathematics volume 31. Providence, R.I.: American Mathematical Society. pp. 31–33. ISBN 0-8218-5026-1. MR 763890.
- Brown, William A. (1991). Matrices and vector spaces. New York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8419-5.
- Lang, Serge (1987). Linear algebra. Berlin, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-96412-6.
Outros artigos
Erro no código da cita: As etiquetas <ref>
existen para un grupo chamado "Nota", pero non se atopou a etiqueta <references group="Nota"/>
correspondente