Base (álxebra linear)

Base estándar no plano cartesiano.

Na álxebra linear, unha base é un conxunto B do espazo vectorial V se se cumpren as seguintes condicións:

• Todos os elementos de B pertencen ao espazo vectorial V.
• Os elementos de B forman un sistema linearmente independiente.
• Todo elemento de V pode escribirse como combinación linear dos elementos da base B (é dicir, B é un sistema xerador de V).

Lema de Zorn

Mediante o uso do lema de Zorn, é posible probar que todo espazo vectorial posúe unha base. A pesar de que é posible que un espazo vectorial non posúa unha única base, cúmprese que todo par de bases dun mismo espazo vectorial teñen a mesma cardinalidade. Por ser así, esa cardinalidade chámase dimensión do espazo vectorial.

Outras propiedades, consecuencias do lema de Zorn:

• Todo sistema xerador dun espazo vectorial contén unha base vectorial (de Hamel).
• Todo conxunto linearmente independente nun espazo vectorial, pode ser estendido a unha base.

Espazos de dimensión finita

Un espazo de dimesión finita é todo aquel xerado por un conxunto finito de vectores. Neste caso pode definirse a dimensión do espazo como o cardinal do conxunto de vectores que constitúe a base.

Os subespazos dun espazo vectorial de dimensión finita tamén teñen, polo menos, unha base, de dimensión menor á do espazo no que están contidos. Por exemplo, unha recta homoxénea no plano, é dicir que pasa pola orixe determinado neste, ten dimensión un, por ser a súa base un único vector. Evidentemente, esta dimensión é menor cá do plano na que a recta está contida.

Espazos de dimensión infinita

No caso de espazos vectoriais de dimensión infinita, como os que aparecen na análise funcional compre sinalar algunhas distincións.

Véxase también

Outros artigos

• Método de ortogonalización de Gram-Schmidt