Teorema de Tolomeo

Un cuadrilátero cumpre o Teorema de Ptolomeo se e só se é cíclico.

O teorema de Ptolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Ptolomeo.

Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:

${\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}={\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {AD}}$

Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.

Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:

En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.

Demostración xeométrica

Demostración do teorema de Ptolomeo

1. Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
2. Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
3. Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
4. Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
   1. Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
   2. O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
   3. É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
   4. Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.

O teorema de Ptolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.

Exemplo

A razón dourada obtense da aplicación do teorema de Ptolomeo

Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Ptolomeo arroxa neste caso,

$b^{2}=ab+a^{2}.\$

Dividindo entre $a^{2}$ tense

${\frac {b^{2}}{a^{2}}}=1+{\frac {b}{a}}.\$

Denotando con $\varphi$ a razón b/a obtense $\varphi ^{2}=1+\varphi$, ecuación que coincide coa definición do número áureo.

$\varphi ={{1+{\sqrt {5}}} \over 2}$.

Véxase tamén

• Ptolemy's theorem en PlanetMath (en inglés)
• Ptolemy Inequality, en Math World (en inglés)