Función

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Función (homónimos).

O concepto de función é unha xeneralización da noción común de "fórmula matemática". As funcións describen relacións matemáticas especiais entre dous obxectos, x e y=f(x). O obxecto x chámase o argumento da función f e o obxecto y, que depende de x, chámase imaxe de x en f.

Intuitivamente, unha función é un xeito de asociar a cada valor do argumento x un único valor da función f(x). Isto pódese facer especificando a través dunha fórmula, unha relación gráfica entre diagramas representando os dous conxuntos, e/ou unha regra de asociación, mesmo pódese construír unha táboa de correspondencia; entre conxuntos numéricos é común representarmos funcións polos seus gráficos, cada par de elementos relacionados pola función determina un punto nesta representación, a restrición de unicidade da imaxe implica que existe un único punto para función en cada valor independente x. Este concepto é determinístico, sempre produce o mesmo resultado a partir dunha dada entrada (a xeneralización aos valores aleatorios é chamada de función estocástica). Unha función pode ser vista como unha "máquina" ou "caixa negra" que converte entradas válidas en saídas de forma unívoca, por iso algúns autores chaman as funcións "relacións unívocas".

O tipo de función máis común é aquel onde o argumento e mailo valor da función son ambos numéricos, o relacionamento entre os dous é expreso por unha fórmula e o valor da función obténse a través da substitución directa dos argumentos. Considere o exemplo

$f(x)=x^{2}$

Que resulta en calquera valor de x ao cadrado.

Unha xeneralización directa é permitir que funcións dependan non só dun único valor, mais de varios. Por exemplo,

$g(x,y)=xy$

recebe dous números x e y e resulta no produto deles, xy.

En base ao xeito en que se especifica unha función, esta pode chamarse función explícita (exemplo de riba) ou función implícita, como en

$xf(x)=1$

que implicitamente especifica a función

$f(x)=1/x$

Vimos que a noción intuitiva de funcións non se limita a computacións usando apenas números e tampouco se limita a computacións; a noción matemática de funcións é máis xeral e non se limita tampouco a situacións que inclúan números. En vez diso, unha función liga un "dominio" (conxunto de valores de entrada) cun segundo conxunto o "contra- dominio" (ou codominio) de tal forma que a cada elemento do dominio está asociado exactamente un elemento do contra-dominio, o conxunto dos elementos do contra-dominio que son relacionados pola f a algún x do dominio, chámase de "conxunto-imaxe" ou "imaxe" . As funcións defínense abstractamente por certas relacións, como veremos mais adiante. Por causa da súa xeneralización, as funcións aparecen en moitos contextos matemáticos, e moitos campos da matemática baséanse no estudo de funcións.

Pode notarse que as palabras "función", "mapeado", "mapear" e "transformar" son xeralmente usadas como sinónimos.

Historia

Como un termo matemático, "función" foi introducido por Leibniz en 1694, para descrever cantidades relacionadas a unha curva; tales como a inclinación da curva ou un punto específico da dita curva. Funcións relacionadas á curvas son actualmente chamadas funcións diferenciábeis e son aínda o tipo de funcións máis atopado por non-matemáticos. Para este tipo de funcións, pódese falar de limites e derivadas; ambos sendo medida da mudanza nos valores de saída asociados á variación dos valores de entrada, formando a base do cálculo infinitesimal.

A palabra función foi posterioirmente usada por Euler a mediados do século XVIII para describir unha expresión comprendendo varios argumentos; i.e:y = F(x). Ampliando a definición de funcións, os matemáticos foron capaces de estudar "estraños" obxectos matemáticos tales como funcións que non son diferenciábeis en calquera dos seus puntos. Tales funcións, inicialmente tidas como puramente imaxinarias e chamadas xenericamente de "monstros", foron xa no final do século XX, identificadas como importantes para a construción de modelos físicos de fenómenos tales como o movemento Browniano.

Durante o Século XIX, os matemáticos comezaron a formalizar todos os diferentes ramos da matemática. Weierstrass defendía que se se construise o cálculo infinitesimal sobre a Aritmética no canto de sobre a Xeometría, o que favorecía a definición de Euler en relación á de Leibniz (vexa aritmetización da análise). Máis para o final do século, os matemáticos comezaron a tentar formalizar toda a Matemática usando Teoría de Conxuntos, e conseguiron obter definicións de todos os obxectos matemáticos en termos do concepto de conxunto. Foi Dirichlet quen criou a definición "formal" de función moderna.

Na definición de Dirichlet, unha función é un caso especial dunha relación. A relación é un conxunto de pares ordenados, onde cada elemento do par pertence a un dos conxuntos relacionados (nas relacións non existen restricións en canto á lei de correspondencia entre os elementos dos conxuntos, xa que é costume que as funcións introduzan restricións). Na maioría dos casos de interese práctico, sen embargo, as diferenzas entre as definicións moderna e de Euler son desprezábeis.

Definición Formal

Considere dous conxuntos X e Y. Unha función f de X en Y:

$f:X\rightarrow Y$

relaciona a cada elemento x en X, cun único elemento y=f(x) en Y.

Outra maneira de dicir isto é afirmar que f é unha relación binaria entre os dous conxuntos tal que:

1. f é unívoca: se y = f(x) e z = f(x), entón y = z.
2. f é total: para todos x en X, existe un y en Y tal que y = f(x).

Se se atende á segunda condición, e non á primeira, temos unha función multivalorada (tamén se usa ás veces o termo función multívoca na mesma acepción).

Se se atende á primeira condición, e non á segunda, temos unha función parcial.

Considere as tres funcións seguintes:

	Esta non é unha función, pois o elemento 3 en X está asociado con dous elementos (b e c) en Y (a función non é funcional). Este é un exemplo de función multivalorada.
	Esta non é unha función, pois o elemento 1 en X non é asociado con ao menos un elemento en Y. Este é un exemplo de función parcial.
	Esta é unha función (no caso, unha función discreta). Esta pode definirse explicitamente pola expresión: $f(x)=\left\{{\begin{matrix}a,&{\mbox{se }}x=1\\c,&{\mbox{se }}x=2\\d,&{\mbox{se }}x=3.\end{matrix}}\right.$

Dominio, contradominio e imaxe

Función x², definida para { -3,-2,-1,0 }. Observar o conxunto dominio (D), contradominio (CD) e imaxe (delineado pola liña tracexada).

Son tres conxuntos especiais asociados á función. O dominio é o conxunto A do exemplo dado no inicio deste capítulo: contén todos os elementos x para os cales a función se debe definir. Xa o conxunto B do exemplo é o contradominio: o conxunto que contén os elementos que poden ser relacionados a elementos do dominio.

Tamén se define o conxunto imaxe como o conxunto de valores que f(x) asume efectivamente. O conxunto imaxe é, pois, sempre un subconxunto do contradominio.

Funcións Sobrexectivas , Inxectivas e Bixectivas

Os tipos de funcións poden clasificarse de acordo co seu comportamento con relación á regra unha única saída para cada entrada. Como non se dixo nada sobre as entradas, ou se as saídas teñen que ser únicas temos que resolver estas ambiguidades. Ao facer isto atopamos apenas tres tipos de clases de funcións ( clase como en 'clasificación' non clase de equivalencia):

• Funcións inxectoras (ou inxectivas), son funcións en que cada elemento do contra-dominio (da saída) esta asociado a apenas un elemento do dominio (da entrada), é dicir unha relación un para un entre os elementos do dominio e do contra-dominio. Isto é, cando $x\neq y$ no dominio entón $f(x)\neq f(y)$ no contradominio. Exemplo:

• Funcións sobrexectoras (ou sobrexectiva), unha función en que todos os elementos do contra-dominio (da saída) están asociados a algún elemento do dominio (da entrada). Noutras palabras, iso significa que o conxunto imaxe é igual ao conxunto contra-dominio

• Funcións bixectoras (ou bixectiva), se fose á vez sobrexectora e inxectora, isto é, se todos os elementos do dominio están asociados un a un a todos os elementos do contra-dominio.