Teorema de Tolomeo: Diferenzas entre revisións
m r2.7.1) (Bot: Engado: nn:Ptolemaios-satsen |
m r2.7.2) (Bot: Engado: ta:தொலெமியின் தேற்றம் |
||
Liña 69: | Liña 69: | ||
[[sl:Ptolemajev izrek]] |
[[sl:Ptolemajev izrek]] |
||
[[sw:Uhakiki wa Ptolemaio]] |
[[sw:Uhakiki wa Ptolemaio]] |
||
[[ta:தொலெமியின் தேற்றம்]] |
|||
[[uk:Теорема Птолемея]] |
[[uk:Теорема Птолемея]] |
||
[[vi:Định lý Ptolemy]] |
[[vi:Định lý Ptolemy]] |
Revisión como estaba o 3 de setembro de 2012 ás 20:05
O teorema de Ptolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Ptolomeo.
Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:
Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.
Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:
- En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.
Demostración xeométrica
- Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
- Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
- Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
- Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
- Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
- O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
- É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
- Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.
Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.
O teorema de Ptolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.[1]
Exemplo
Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Ptolomeo arroxa neste caso,
Dividindo entre tense
Denotando con a razón b/a obtense , ecuación que coincide coa definición do número áureo.
- .
Notas
- ↑ Adam Puig Curso de Geometría Métrica, Tomo 1 ISBN 84-85731-03-4.
Véxase tamén
- Ptolemy's theorem en PlanetMath (en inglés)
- Ptolemy Inequality, en Math World (en inglés)