Infinito

Sistema numérico en matemáticas
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ
Naturais ($\mathbb {N}$) Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne Enteiros ($\mathbb {Z}$) Primos ($\mathbb {P}$) / Compostos Pares / Impares Abundantes / Defectivos Números perfectos, amigos e sociábeis Racionais ($\mathbb {Q}$) Fraccións Reais ($\mathbb {R}$) Positivos ($\mathbb {R} _{>0}$) / Negativos ($\mathbb {R} _{<0}$) Irracionais ($\mathbb {I}$) Alxébricos / Transcendentes ($\mathrm {Tr}$) Números complexos ($\mathbb {C}$) Números imaxinarios
Números destacables
-1 0 1 Φ ≈ 1,6180339887... e ≈ 2,7182818284 π ≈ 3,1415926535 i = ${\sqrt {-1}}$ Constantes matemáticas
Outras extensións dos números complexos
Bicomplexos Hipercomplexos Cuaternións ($\scriptstyle \mathbb {H}$) Octonións ($\scriptstyle \mathbb {O}$) Sedenións ($\scriptstyle \mathbb {S}$) Superreais Hiperreais Surreais
Infinito
Infinito (∞) Números infinitos Números transfinitos Números alef {$\aleph _{0},\aleph _{1},\cdots$}
Especiais
Nominais Ordinais (1o,2o...) Cardinais
Outros importantes
Secuencias de enteiros Lista de números Números grandes
Sistemas de numeración
Numeración en base constante Sistema binario (2) Sistema octal (8) Sistema decimal (10) Sistema hexadecimal (16) Numeración arábiga Numeración babilónica Numeración chinesa Numeración xaponesa Numeración maia Numeración romana

Infinito é o concepto de falta de límite e falta de fronteira no tamaño, cantidade ou extensión.

Tipos

Pódese distinguir entre infinito potencial e infinito real.

Infinito potencial é usado para procesos que poden, en principio, continuar para sempre, ou para obxectos que poden, en principio, medrar sen parar. Por exemplo, a secuencia 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... é potencialmente infinita: é doado ver como extendela para alén de toda fronteira. En matemáticas, se unha función medra máis que calquera valor cando o argumento se aproxima a un valor dado, dicimos que o límite é infinito, que se representa co símbolo Juan Hidalgo Seoane$\infty$. O anterior é tamén un exemplo de infinito potencial. O concepto de infinito potencial acéptase xeralmente e non presenta controversias.

Por outro lado, discútese se unha entidade completa e existente pode ter tamaño infinito, que se pode chamar infinito real, ou infinito completo. En matemáticas, os conxuntos infinitos reais foron primeiramente considerados por Georg Cantor. En 1873 atopou moita resistencia. Cantor foi alén e observou que os conxuntos infinitos poden mesmo ter tamaños diferentes, distinguindo entre conxuntos infinitos contables e incontables, e desenvolveu a súa teoría de números cardinais baseado nesta observación. A súa visión prevaleceu e as matemáticas modernas aceptan o infinito real. Certos sistemas numéricos extendidos, tales como os números surreais, incorporan os números (finitos) ordinarios e os números infinitos de diferentes tamaños.

A nosa intución aprendida con conxuntos finitos falla cando lidamos con conxuntos infinitos. Un exemplo é o Paradoxo do Grand Hotel de Hilbert.

Un cuestión intrigante é se o infinito real existe no noso universo físico: Existen infinitas estrelas? O universo ten volume infinito? O espazo medra sen parar? Esta é unha importante cuestión aberta en cosmoloxía. Observe que a cuestión de ser infinito está loxicamente separada da de non ter fronteiras. A superficie bidimensional da Terra, por exemplo, é finita, aínda que non teña fronteiras. Se se anda/navega/dirixe en liña recta, retórnase ao punto exacto da partida. O universo, polo menos a principio, podería operar de forma similar; se se saíse cunha súa nave espacial sempre na mesma dirección e se voase tempo suficiente, talvez pase exactamente polo punto de onde saiu.

Outra cuestión é se o concepto matemático de infinito ten algunha relación co concepto relixioso de Deus. Esta cuestión foi feita tanto por Cantor, co seu concepto de Infinito Absoluto que el igualaba a Deus, como tamén por Kurt Gödel coa súa "proba ontolóxica" da existencia dunha entidade que el relacionaba con Deus.

Véxase tamén

Outros artigos

• Infinitesimal
• Números infinitos