Teorema de Tolomeo: Diferenzas entre revisións
Nova páxina: "right|thumb|Un cuadrilátero cumpre o Teorema de Ptolomeo se e só se é [[cuadrilátero cíclico|cíclico.]] O '''teorema de Ptolomeo''' é unha..." |
m Bot: Substitución automática de texto (-|thumb| +|miniatura| & -|thumbnail| +|miniatura|) |
||
Liña 1: | Liña 1: | ||
[[Ficheiro:Ptolemy Theorem.svg|right| |
[[Ficheiro:Ptolemy Theorem.svg|right|miniatura|Un cuadrilátero cumpre o Teorema de Ptolomeo se e só se é [[cuadrilátero cíclico|cíclico]].]] |
||
O '''teorema de Ptolomeo''' é unha relación en [[xeometría euclidiana]] entre os catro lados e as dúas diagonais dun [[cuadrilátero cíclico]]. Recibe o seu nome do [[astrónomo]] e [[matemático]] [[Grecia romana|grego]] [[Claudio Ptolomeo]]. |
O '''teorema de Ptolomeo''' é unha relación en [[xeometría euclidiana]] entre os catro lados e as dúas diagonais dun [[cuadrilátero cíclico]]. Recibe o seu nome do [[astrónomo]] e [[matemático]] [[Grecia romana|grego]] [[Claudio Ptolomeo]]. |
||
Liña 31: | Liña 31: | ||
== Exemplo == |
== Exemplo == |
||
[[Ficheiro:Ptolemy Pentagon.svg|right| |
[[Ficheiro:Ptolemy Pentagon.svg|right|miniatura|A razón dourada obtense da aplicación do teorema de Ptolomeo]] |
||
Considérese un pentágono regular e a [[circunferencia circunscrita]] ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Ptolomeo arroxa neste caso, |
Considérese un pentágono regular e a [[circunferencia circunscrita]] ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Ptolomeo arroxa neste caso, |
||
::<math> b^2 = a b + a^2.\ </math> |
::<math> b^2 = a b + a^2.\ </math> |
Revisión como estaba o 16 de xuño de 2012 ás 19:50
O teorema de Ptolomeo é unha relación en xeometría euclidiana entre os catro lados e as dúas diagonais dun cuadrilátero cíclico. Recibe o seu nome do astrónomo e matemático grego Claudio Ptolomeo.
Se un cuadrilátero está dado polos seus catro vértices A, B, C, D, o teorema afirma que:
Onde a liña sobre as Letras indica a lonxitude dos segmentos entre os vértices correspondentes.
Esta relación pode ser con palabras do seguinte xeito:
- En todo cuadrilátero inscribible nunha circunferencia, a suma dos produtos dos pares de lados opostos é igual ao produto das súas diagonais.
Demostración xeométrica
- Sexa ABCD un cuadrilátero cíclico.
- Nótese que no segmento BC, hai os ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, e en AB, ∠ADB = ∠ACB.
- Agora, por ángulos comúns △ABK é semellante a △DBC, e △ABD ∼ △KBC
- Polo tanto AK/AB = CD/BD, e CK/BC = DA/BD,
- Polo tanto AK·BD = AB·CD, e CK·BD = BC·DA;
- O que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·DA
- É dicir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;
- Como AK+CK = AC, polo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.
Nótese que a demostración é válida só para cuadriláteros concíclicos simples. Se o cuadrilátero é complexo entón K encontrarase fóra do segmento AC, e polo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.
Existe unha xeneralización deste teorema chamado teorema de Casey, que involucra a catro circunferencias non secantes e tanxentes interiores a unha quinta.
O teorema de Ptolomeo pódese demostrar con métodos de inversión xeométrica con respecto a calquera vértice dun cuadrilátero.[1]
Exemplo
Considérese un pentágono regular e a circunferencia circunscrita ao mesmo. No cuadrilátero ABCD as diagonais son iguais ao lado AD. O teorema de Ptolomeo arroxa neste caso,
Dividindo entre tense
Denotando con a razón b/a obtense , ecuación que coincide coa definición do número áureo.
- .
Notas
- ↑ Adam Puig Curso de Geometría Métrica, Tomo 1 ISBN 84-85731-03-4.
Véxase tamén
- Ptolemy's theorem en PlanetMath (en inglés)
- Ptolemy Inequality, en Math World (en inglés)