Anel (álxebra)

Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto (A) e dúas operacións: suma e produto: (A+,*); de tal xeito que (A,+) é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), e o produto * é asociativo e ten a propiedade distributiva respecto da suma. Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo e se o anel posúe un elemento neutro para o produto, chamarase anel con unidade.

O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:

... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...

xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:

1. Os números enteiros están cerrados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
2. A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c = a + (b + c).
3. Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
4. Existe un elemento simétrico para a suma: para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b = 0.
5. A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b = b + a.
6. Os números enteiros están cerrados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
7. A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c = a × (b × c).
8. Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 = a.
9. A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).

Definición formal

Sexa A un conxunto non baleiro, e sexan $\star$ e $\circ$ dúas operacións binarias en A, dise que o conxunto $(A,\star ,\circ )\,$ é un anel se se cumpren as seguintes propiedades:

1.	A é pechado baixo a operación $\star$.	$\forall a,b\in A,a\star b\in A$
2.	A operación $\star$ é asociativa.	$\forall a,b,c\in A,(a\star b)\star c=a\star (b\star c)$
3.	A operación $\star$ ten a n como elemento neutro.	$\forall a\in A,a\star n=n\star a=a$
4.	Existe un elemento simétrico para $\star$.	$\forall a\in A,\exists b\in A,a\star b=b\star a=n$

Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:

5.

A operación $\star$ é conmutativa.

$\forall a,b\in A,a\star b=b\star a$

Para definir un anel, é necesario agregar tres condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:

6.	A é pechado baixo a operación $\circ$.	$\forall a,b\in A,a\circ b\in A$
7.	A operación $\circ$ é asociativa.	$\forall a,b,c\in A,(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
8.	A operación $\circ$ é distributiva respecto de $\star$.	$\forall a,b,c\in A,\quad \left\{{\begin{array}{l}a\circ (b\star c)=(a\circ b)\star (a\circ c)\\(a\star b)\circ c=(a\circ c)\star (b\circ c)\\\end{array}}\right.$

E agregando unha novena condición, defínese un anel conmutativo:

9.

A operación $\circ$ é conmutativa.

$\forall a,b\in A,a\circ b=b\circ a$

Definición sintética

Usando Lecciones de Álgebra moderna de P. dubreil y M.L. dubreil Jacotin:

Un anel R é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condición:

• R é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0;
• R é un semigrupo para a multiplicación;
• a multiplicación é distributiva (aos dous lados) respecto á adición.

Exemplos

• O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos. con la adición y múltiplicación usuales.
• El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación es un anillo no conmutativo.
• El conjunto Q(?) de los números reales: m +n? donde m, n están en Q, conjunto de los racionales y ? es el real que ?*? = 3. Leyes de composición: adición y multiplicación.
• El conjunto Z[6] de los restos módulo 6; con la adición y multiplicación de restos; es un anillo finito con divisores de 0.
• El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en Z, conjunto de los enteros , con la adición y multiplicación.

Elementos destacables dun anel

• Elemento cero: denotado por $0$. É o neutro para a suma. Sexa A un anel arbitrario. $0x=0\;\forall x\in A$ A súa demostración sería: $0x=(0+0)x=0x+0x$. Logo $0x=0x+0x$. Restando o inverso aditivo de $0x$, que existe dado que A é un grupo para a suma, $0x-0x=0x$

Pero $0x-0x=0$. Finalmente $0=0x\forall x\in A$

• Elemento unitario: se un elemento, que denotamos 1, cumpre $1\cdot a=a\cdot 1=a$ para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario.

O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ): Demostración: Sexa $a\in Aa=a1=a0=0$ Logo, $\forall a\in A,a=0$

• Inverso multiplicativo: se estamos nun anel que posúe un elemento unitario, $b$ é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de $a$ se $b\cdot a=1$. Así mesmo, $c$ é inverso multiplicativo pola dereita (ou simplemente inverso pola dereita) de $a$ se $a\cdot c=1$. Un elemento $a^{-1}$ dise que é inverso multiplicativo (ou simplemente inverso) de $a$ se $a^{-1}$ é inverso pola esquerda de $a$ e inverso pola dereita de $a$, é dicir, $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=1$. Se existe o inverso dun elemento, entón este é único (pois se existira outro, "este deixaría de ser inverso").

• Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.

• Divisor de cero: un elemento $a\neq 0$ é divisor do cero pola esquerda, se existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Éo pola dereita se existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Dirase que a é divisor de cero se o é tanto pola dereita como pola esquerda.

• Elemento regular: un elemento $a\neq 0$ dun anel é regular se non é divisor de cero. Todo elemento invertible é regular.

• Elemento idempotente: é calquera elemento $e$ do anel que ao multiplicarse por si mesmo non varía, é dicir, tal que $e\cdot e=e$ (isto adóitase escribir como $e^{2}=e$). O cero é sempre idempotente nun anel, e se o anel é unitario, tamén o 1 é idempotente.

• Elemento nilpotente (ou nihilpotente): é calquera elemento $x$ do anel para o que existe un número natural $n$ de forma que $x^{n}=0$ (onde $x^{n}$ se define por recorrencia: $x^{0}=1$, $x^{n}=x\cdot x^{n-1}$). O 0 é sempre un nilpotente de calquera anel. Todo elemento nilpotente é divisor de cero.

Tipos de aneis

Algúns tipos destacables de aneis son:

• Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con anel abeliano).

• Anel unitario: aquel que posúe un elemento unitario e ademais, este é distinto do neutro da suma.

• Anel de división: é o anel no cal todo elemento, a excepción do 0, ten inverso.

• Anel con leis de simplificación: aquel no que se cumpren as leis de simplificación. Se un anel non ten divisores do cero, cúmprense as leis de simplificación, e o recíproco tamén é certo.

• Dominio de integridade: se un anel non posúe divisores do cero, é un dominio de integridade (tamén se adoita esixirlle que se trate dun anel conmutativo e unitario, mais esta esixencia non é aceptada por todos os autores).

• Corpo: trátase dun anel de división conmutativo.

• Anel abeliano: é un anel no que todo elemento idempotente pertence ao centro do anel, é dicir, todo elemento idempotente conmuta con calquera elemento do anel.

• Anel euclidiano (nome dado por A.I. Kostrikin). Un dominio de integridade R dise que é un anel euclidiano se para calquera elemento x distinto de 0 en R está determinado un enteiro n(x) maior ou igual que 0 e cumpre:

i)Para x e y elementos calquera de R, ningún nulo, n(x) menor ou igual que n(xy).

ii)Para x, y calquera, dous elementos non nulos á vez de R, existen q e r en R, de modo que x=qy+r, sendo r=0 o n(r) menor que n(y).

• n(x) é unha aplicación de R* en Z≥0, onde R* é o anel sen o seu 0.

Son aneis euclidianos o anel dos enteiros, o dos enteiros gaussianos e os aneis de polinomios. Fraleigh denomínao dominio euclidiano.

Subsistemas notables

Subaneis e ideais

Un subanel $S$ dun anel $R$ =(A,+,·) é un subconxunto $S\subset R$ que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se $a,b\in S$, entón $a+b\in S$ e $a\cdot b\in S$. Se $1\in R$ (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que $1\in S$. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de $R$, e so o será se $R$ non é unitario.

Un subanel $S$ é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se $R\neq S$.

Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, $(S,+)$ é un subgrupo de $(R,+)$.

Pero na Teoría de Aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de ideal.

Un subconxunto $I\subset R$ é ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se $(I,+)$ é subgrupo de $(R,+)$ e dados calquera $r\in R$ e $x\in I$ tense que $r\cdot x\in I$.

Un subconxunto $I\subset R$ é ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se $(I,+)$ é subgrupo de $(R,+)$ e dados calquera $r\in R$ e $x\in I$ se ten que $x\cdot r\in I$.

Cando un subconxunto I é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).

A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.

Un ideal $I$ (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, $I\neq R$.

Unidades

O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario $(R,+,\cdot ,1_{R})$ denomínase conxunto de unidades (do anel), e denótase por $U(R)$.

Se $I$ é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario $R$ e $U(R)$ son as súas unidades ou elementos invertibles, entón $I\cap U(R)=\varnothing$, isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.

Centro

O centro dun anel $(R,+,\cdot )$ (denotado por $Z(R)$) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir $Z(R):=\{r\in R:r\cdot s=s\cdot r,\forall s\in R\}$. O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que $0\in Z(R)$. Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., $R=Z(R)$.

• O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.