Anel (álxebra): Diferenzas entre revisións
Liña 134: | Liña 134: | ||
=== Subaneis e ideais === |
=== Subaneis e ideais === |
||
Un |
Un subanel <math>S</math> dun anel <math>R</math> =(A,+,·) é un [[subconxunto]] <math>S \subset R</math> que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se <math>a,b \in S</math>, entón <math>a+b \in S</math> e <math>a\cdot b \in S</math>. Se <math>1 \in R</math> (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que <math>1 \in S</math>. Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de <math>R</math>, e so o será se <math>R</math> non é unitario. |
||
Un |
Un subanel <math>S</math> é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se <math>R \neq S</math>. |
||
Resulta |
Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, <math>(S,+)</math> é un subgrupo de <math>(R,+)</math>. |
||
Pero |
Pero na Teoría de Aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de [[Ideal (teoría de aneis)|ideal]]. |
||
Un |
Un subconxunto <math>I \subset R</math> é ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se <math>(I,+)</math> é subgrupo de <math>(R,+)</math> e dados calquera <math>r \in R</math> e <math>x \in I</math> tense que <math>r \cdot x \in I</math>. |
||
Un |
Un subconxunto <math>I \subset R</math> é ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se <math>(I,+)</math> é subgrupo de <math>(R,+)</math> e dados calquera <math>r \in R</math> e <math>x \in I</math> se ten que <math>x \cdot r \in I</math>. |
||
Cando un subconxunto I é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel). |
|||
A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros. |
|||
Un ideal <math>I</math> ( |
Un ideal <math>I</math> (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, <math>I \neq R</math>. |
||
=== Unidades === |
=== Unidades === |
Revisión como estaba o 25 de abril de 2012 ás 18:35
Este artigo está a ser traducido ao galego por un usuario desta Wikipedia; por favor, non o edite. O usuario Calq (conversa · contribucións) realizou a última edición na páxina hai 11 anos. Se o usuario non publica a tradución nun prazo de trinta días, procederase ó seu borrado rápido. |
Na álxebra, un anel é unha estrutura alxébrica formada por un conxunto (A) e dúas operacións: suma e produto: (A+,*); de tal xeito que (A,+) é un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), e o produto * é asociativo e ten a propiedade distributiva respecto da suma. Se o produto é conmutativo falaremos dun anel conmutativo e se o anel posúe un elemento neutro para o produto, chamarase anel con unidade.
O exemplo máis intuitivo e familiar de anel é o conxunto dos números enteiros:
- ... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...
xunto coas operacións binarias da suma e a multiplicación. Historicamente, o conxunto Z dos enteiros coas súas dúas operacións serviu de base para a formulación do concepto de anel. A razón pola cal estas tres cousas forman un anel, é porque posúen as seguintes propiedades:
- Os números enteiros están cerrados baixo a suma: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b é un número enteiro.
- A suma é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a + b) + c = a + (b + c).
- Existe un elemento neutro para a suma: para todo número enteiro a, a + 0 = 0 + a = a.
- Existe un elemento simétrico para a suma: para todo número enteiro a, sempre existe algún número enteiro b, tal que a + b = 0.
- A suma é conmutativa: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a + b = b + a.
- Os números enteiros están cerrados baixo a multiplicación: dados dous números enteiros a e b, cúmprese que a × b é un número enteiro.
- A multiplicación é asociativa: dados tres números enteiros a, b e c, cúmprese que (a × b) × c = a × (b × c).
- Existe un elemento neutro para a multiplicación: para todo número enteiro a, a × 1 = a.
- A multiplicación é distributiva respecto da suma: a × (b + c) = (a × b) + (a × c).
Definición formal
Sexa A un conxunto non baleiro, e sexan e dúas operacións binarias en A, dise que o conxunto é un anel se se cumpren as seguintes propiedades:
1. A é pechado baixo a operación . 2. A operación é asociativa. 3. A operación ten a n como elemento neutro. 4. Existe un elemento simétrico para .
Estas catro condicións definen un grupo. Unha quinta condición define un grupo abeliano:
5. A operación é conmutativa.
Para definir un anel, é necesario agregar tres condicións máis que falan acerca da segunda operación binaria:
6. A é pechado baixo a operación . 7. A operación é asociativa. 8. A operación é distributiva respecto de .
E agregando unha novena condición, defínese un anel conmutativo:
9. A operación é conmutativa.
Definición sintética
Usando Lecciones de Álgebra moderna de P. dubreil y M.L. dubreil Jacotin:
Un anel R é un conxunto con dúas leis de composición, chamadas adición e multiplicación, cumprindo as seguintes condición:
- R é grupo abeliano para a adición; o elemento neutro nesta adición noméase cero do anel, e denótase usualmente 0;
- R é un semigrupo para a multiplicación;
- a multiplicación é distributiva (aos dous lados) respecto á adición.
Exemplos
- O conxunto H = {m+ni/ m,n están en Q}, H é subconxunto do conxunto C dos complexos. con la adición y múltiplicación usuales.
- El conjunto M de las matrices reales de orden 2 con la adición y multiplicación es un anillo no conmutativo.
- El conjunto Q(?) de los números reales: m +n? donde m, n están en Q, conjunto de los racionales y ? es el real que ?*? = 3. Leyes de composición: adición y multiplicación.
- El conjunto Z[6] de los restos módulo 6; con la adición y multiplicación de restos; es un anillo finito con divisores de 0.
- El conjunto F[x] de los polinomios con coeficientes en Z, conjunto de los enteros , con la adición y multiplicación.
Elementos destacados nun anel
- Elemento cero: denotado por . É o neutro para a suma.
Observación: Sexa A un anel arbitrario. Demostración: . Logo . Restando o inverso aditivo de , que existe dado que A é un grupo para a suma, Pero . Finalmente
- Elemento unitario: se un elemento, que denotamos 1, cumpre para todo elemento a do anel, denomínase elemento unitario.
O elemento cero e o elemento unitario só coinciden no caso de que o anel sexa trivial ( {0} ): Demostración: Sexa Logo,
- Inverso multiplicativo: se estamos nun anel que posúa un elemento unitario, é inverso multiplicativo pola esquerda (ou simplemente inverso pola esquerda) de se . Así mesmo, é inverso multiplicativo por la derecha (o sencillamente inverso por la derecha) de si . Un elemento se dirá que es inverso multiplicativo (o sencillamente inverso) de si es inverso por la izquierda de e inverso por la derecha de , es decir, .
Si existe el inverso de un elemento, entonces es único (lo que justifica llamarlo el inverso).
- Elemento inversible, ou elemento invertible ou unidade: é todo aquel elemento que posúe inverso multiplicativo.
- Divisor do cero: un elemento é divisor del cero por la izquierda, si existe algún b distinto de 0, tal que a·b=0. Lo es por la derecha si existe un c distinto de 0 tal que c·a=0. Se dirá que a es divisor del cero, si lo es tanto por la derecha como por la izquierda.
- Elemento regular: un elemento de un anillo es regular si no es divisor de cero. Todo elemento invertible es regular.
- Elemento idempotente: es cualquier elemento del anillo que al multiplicarse por sí mismo no varía, es decir, tal que (esto se suele escribir como ). El cero es siempre idempotente en un anillo, y si el anillo es unitario, también el 1 es idempotente.
- Elemento nilpotente (o nihilpotente): es cualquier elemento del anillo para el que existe un número natural de forma que (donde se define por recurrencia: , ). El 0 es siempre un nilpotente de cualquier anillo. Todo elemento nilpotente es divisor de cero.
Tipos de aneis
Algúns tipos destacables de aneis son:
- Anel conmutativo: aquel no que o produto é conmutativo, isto é, a·b=b·a para todo a e b (non debe confundirse con anil abeliano).
- Anillo unitario: aquel que posee un elemento unitario y además, éste es distinto del neutro de la suma.
- Anillo de división: es el anillo en el cual todo elemento, a excepción del 0, tiene inverso.
- Anillo con leyes de simplificación: aquel en el que se cumplen las leyes de simplificación. Si un anillo no tiene divisores del cero, se cumplen las leyes de simplificación, y el recíproco también es cierto.
- Dominio de integridad: si un anillo no posee divisores del cero, es un dominio de integridad (a menudo se suele exigir que además se trate de anillos conmutativos y unitarios, pero esta exigencia no es aceptada por todos los autores).
- Cuerpo: se trata de un anillo de división conmutativo.
- Anillo abeliano: es un anillo en el que todo elemento idempotente pertenece al centro del anillo, es decir, todo elemento idempotente conmuta con cualquier elemento del anillo.
- Anillo euclídeo. El nombre según A.I. Kostrikin. Un dominio de integridad R se dice que es un anillo euclideo si para cualquier elemento x distinto de 0 en R está determinado un entero n(x) mayor o igual que 0 y cumple:
i)Para x e y elementos cualesquiera de R, ninguno nulo, n(x) menor o igual que n(xy).
ii) Para x, y cualesquiera, dos elementos no nulos a la vez de R, existen q y r en R, de modo que x=qy+r, siendo r=0 o n(r) menorque n(y).
- n(x) es una aplicación de R* en Z≥0, donde R* es el anillo sin su 0.
Son anillos euclídeos: El anillo de los enteros, el de los enteros gaussianos y los anilllos de polinomios, el de los enteros pares.
Fraleigh llama dominio euclidiano.
Subsistemas notables
Subaneis e ideais
Un subanel dun anel =(A,+,·) é un subconxunto que cumpre que é cerrado para a suma e a multiplicación no anel, isto é, se , entón e . Se (é dicir, se o anel é unitario), entón esixirase ademais que . Nótese que neste caso, cando o anel é unitario, {0} non será subanel de , e so o será se non é unitario.
Un subanel é propio cando non coincide con todo o anel, é dicir, se .
Resulta pois que un subanel é un anel dentro doutro anel (para as mesmas operacións). En particular, é un subgrupo de .
Pero na Teoría de Aneis hai un tipo de subconxunto máis notable que o de subanel, o de ideal.
Un subconxunto é ideal pola esquerda dun anel (A,+,·) se é subgrupo de e dados calquera e tense que .
Un subconxunto é ideal pola dereita dun anel (A,+,·) se é subgrupo de e dados calquera e se ten que .
Cando un subconxunto I é ideal pola dereita e ideal pola esquerda dise que é un ideal bilátero (do anel), ou simplemente que é un ideal (do anel).
A propiedade conmutativa asegúranos que en todo anel conmutativo todo ideal pola esquerda é ideal pola dereita, e todo ideal pola dereita é ideal pola esquerda, isto é, todos os ideais (pola esquerda ou pola dereita) dun anel conmutativo son ideais biláteros.
Un ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) dise que é propio se é distinto de todo o anel, isto é, .
Unidades
O conxunto de elementos invertibles dun anel unitario denomínase conxunto de unidades (do anel), e denótase por .
Se é ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio dun anel unitario e son as súas unidades ou elementos invertibles, entón , isto é, ningún ideal propio ten elementos invertibles. En particular, ningún ideal (pola esquerda, pola dereita ou bilátero) propio ten por elemento a 1, o que impide aos ideais ser subaneis de aneis unitarios.
Centro
O centro dun anel (denotado por ) é o conxunto de elementos que conmutan para o produto, é dicir . O centro dun anel vén a ser como "a parte conmutativa do anel". Nótese que sempre se ten que . Os aneis conmutativos son, logo, aqueles que coinciden co seu centro, i.e., .
- O centro do anel das matrices cadradas de orde n constitúese unicamente das matrices escalares.