Diferenzas entre revisións de «Anel (álxebra)»

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=== Subaneis e ideais ===
 
Un '''subanillo'''subanel <math>S</math> de undun anilloanel <math>R</math> =(A,+,·) esé un [[subconjuntosubconxunto]] <math>S \subset R</math> que cumplecumpre que esé cerrado para laa suma ye laa multiplicación enno el anilloanel, estoisto esé, sise <math>a,b \in S</math>, entoncesentón <math>a+b \in S</math> ye <math>a\cdot b \in S</math>. SiSe <math>1 \in R</math> (esé decirdicir, sise elo anilloanel esé unitario), entonces seentón exigiráesixirase ademásademais que <math>1 \in S</math>. Nótese que en esteneste caso, cuandocando elo anilloanel esé unitario, {0} nonon será subanillosubanel de <math>R</math>, ye so loo será sise <math>R</math> nonon esé unitario.
 
Un subanillosubanel <math>S</math> esé propio cuandocando nonon coincide con todo elo anilloanel, esé decirdicir, sise <math>R \neq S</math>.
 
Resulta puespois que un subanillosubanel esé un anilloanel dentro dedoutro otro anilloanel (para lasas mismasmesmas operacionesoperacións). En particular, <math>(S,+)</math> esé un subgrupo de <math>(R,+)</math>.
 
Pero en lana Teoría de AnillosAneis hayhai un tipo de subconjuntosubconxunto másmáis notable aún que elo de subanillosubanel, elo de [[Ideal (teoría de anillosaneis)|ideal]].
 
Un subconjuntosubconxunto <math>I \subset R</math> esé '''ideal porpola laesquerda izquierda'''dun de un anilloanel (A,+,·) sise <math>(I,+)</math> esé subgrupo de <math>(R,+)</math> ye dados cualesquieracalquera <math>r \in R</math> ye <math>x \in I</math> se tienetense que <math>r \cdot x \in I</math>.
 
Un subconjuntosubconxunto <math>I \subset R</math> esé '''ideal porpola ladereita derecha'''dun de un anilloanel (A,+,·) sise <math>(I,+)</math> esé subgrupo de <math>(R,+)</math> ye dados cualesquieracalquera <math>r \in R</math> ye <math>x \in I</math> se tieneten que <math>x \cdot r \in I</math>.
 
CuandoCando un subconjuntosubconxunto I esé ideal porpola la derechadereita e ideal por la izquierdapola seesquerda dicedise que esé un '''ideal bilátero (deldo anilloanel)''', oou simplemente que esé un '''ideal (deldo anilloanel)'''.
 
LaA propiedadpropiedade conmutativa nos aseguraasegúranos que en todo anilloanel conmutativo todo ideal porpola laesquerda izquierda esé ideal porpola la derechadereita, ye todo ideal porpola ladereita derecha esé ideal porpola la izquierdaesquerda, estoisto esé, todos losos idealesideais (porpola laesquerda izquierdaou opola por la derechadereita) de undun anilloanel conmutativo son idealesideais biláteros.
 
Un ideal <math>I</math> (porpola la izquierdaesquerda, porpola ladereita derecha oou bilátero) se dicedise que esé propio sise esé distinto de todo elo anilloanel, estoisto esé, <math>I \neq R</math>.
 
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