Número irracional: Diferenzas entre revisións
→Demostración: completo |
|||
Liña 31: | Liña 31: | ||
Co que chegamos á conclusión de que ''n'' tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que ''m'' e ''n'' tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta [[reductio ad absurdum]] é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que <math>\sqrt{2}</math> non pode ser racional. |
Co que chegamos á conclusión de que ''n'' tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que ''m'' e ''n'' tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta [[reductio ad absurdum]] é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que <math>\sqrt{2}</math> non pode ser racional. |
||
==Números |
==Números transcendentes== |
||
De especial relevancia son os chamados '''[[número trascendente|números trascendentes]]''', que non poden ser solución de ningunha ecuación alxebraica. Por exemplo, o [[número áureo]] é unha das raíces da ecuación x<sup>2</sup>-x-1=0, polo que non é un número trascendente. Pola contra, [[número pi|pi]] e [[Número e|e]] si son trascendentes. |
De especial relevancia son os chamados '''[[número trascendente|números trascendentes]]''', que non poden ser solución de ningunha ecuación alxebraica. Por exemplo, o [[número áureo]] é unha das raíces da ecuación x<sup>2</sup>-x-1=0, polo que non é un número trascendente. Pola contra, [[número pi|pi]] e [[Número e|e]] si son trascendentes. |
||
Revisión como estaba o 2 de decembro de 2011 ás 01:21
Sistema numérico en matemáticas |
---|
Conxuntos numéricos ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ |
Números destacables |
Outras extensións dos números complexos |
Infinito |
Especiais |
Outros importantes |
Sistemas de numeración |
Os números irracionais son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante números racionais usando as operaciones internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma a/b sendo a e b enteiros.
Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo. Os máis celebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:
- π (Pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
- e: :
- (Número áureo):
Demostración
Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Partamos inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.
Iso significaría que m e n non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos
Aquí podemos deducir que m é un número par, porque dado que , m sempre será par ao proceder dun produto de 2.
Polo tanto, se m é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que
Ou o que é o mesmo
Co que chegamos á conclusión de que n tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que m e n tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que non pode ser racional.
Números transcendentes
De especial relevancia son os chamados números trascendentes, que non poden ser solución de ningunha ecuación alxebraica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación x2-x-1=0, polo que non é un número trascendente. Pola contra, pi e e si son trascendentes.
Os números irracionais non son numerables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que incluen o conxunto dos irracionais.